Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten

Um später die Symmetrie von Mannigfaltigkeiten ausnutzen zu können, benötigen wir der Killing'schen Vektorfelder. Hierzu müssen wir uns ein wenig mit Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten beschäftigen. Eine detaillierte Darstellung findet man z. B. in [23, S. 437-444]; hier genügen daraus die grundlegendsten Definitionen. Beginnen wir mit dem Begriff des Diffeomorphismus. Er ist die Ausdehnung des Begriffes Homöomorphismus auf die differenzierbare Struktur von Mannigfaltigkeiten. Wir definieren also nach [23, S. 14]:

Definition 3.19 (Diffeomorphismus)   Seien $M$ und $N$ Mannigfaltigkeiten. Eine bijektive Abbildung $\phi:M\to N$ heißt Diffeomorphismus, wenn sowohl $\phi$ als auch $\phi^{-1}$ differenzierbar sind.

Zu jedem Diffeomorphismus $\phi:M\to N$ gibt es eine Abbildung $\phi^\ast$, die Tensoren auf $M$ in Tensoren auf $N$ überführt. Für Genaueres siehe [23, S. 437-438].

Wir fahren nun fort, indem wir Diffeomorphismen betrachten, die von einem Parameter abhängen [23, S. 18]:

Definition 3.20 (Einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen)   Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Eine einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen ist eine differenzierbare Abbildung $\mathbb{R}\times M\to M$, so dass $\phi_t:M\to M$ für alle $t\in\mathbb{R}$ ein Diffeomorphismus ist und für alle $t,s\in\mathbb{R}$ die Gleichung $\phi_t\circ\phi_s=\phi_{t+s}$ gilt.

Zu einer einparametrigen Gruppe von Diffeomorphismen können wir ein generierendes Vektorfeld angeben, indem wir die Kurven betrachten, die ein fester Punkt $p$ bei Variation des Parameters $t$ von $\phi_t$ beschreibt: Diese Kurve ist die Abbildung $\phi_t(p):\mathbb{R}\to M$. Ihr Tangentialvektor an der Stelle $t=0$ wird als generierendes Vektorfeld der einparametrigen Gruppe von Diffeomorphismen $\phi_t$ bezeichnet.

Wir betrachten nun eine besondere Art dieser Gruppen, die einparametrigen Isometriegruppen. Dies sind einparametrige Gruppen von Diffeomorphismen, die die Metrik unverändert lassen, für die also für alle $t\in\mathbb{R}$

$$(\phi_t^\ast g)_{ab} = g_{ab}$$ (37)

ist. Mit Hilfe dieser Isometriegruppen lassen sich leicht Symmetrien in Metriken ausnutzen: Ist eine Metrik gegeben, die unabhängig von Änderungen in einem bestimmten Parameter ist, so kann man dazu natürlich eine einparametrige Isometriegruppe angeben. Generierende Vektorfelder von einparametrigen Isometriegruppen heißen auch Killing'sche Vektorfelder [23, S. 441]. Mit Hilfe dieser Vektorfelder kann man auf Erhaltungsgrößen von Geodäten schließen.

Um diese Erhaltungsgrößen exakt mathematisch zu begründen, ist die Einführung der Lie-Ableitung nötig. Dies würde hier jedoch zu weit führen. Es wird hier deshalb nur das Resultat angegeben, das auch ohne die Lie-Ableitung formuliert werden kann [23, S. 442]:

Satz 3.21 (Erhaltungsgrößen)   Sei $\xi^a$ ein Killing'sches Vektorfeld und $\gamma$ eine Geodäte mit der Tangente $u^a$. Der Skalar $\xi_au^a$ ist dann entlang $\gamma$ konstant.

Dieser Satz ist vor allem beim Aufstellen von Bewegungsgleichungen sehr nützlich, wie wir später in Abschnitt 5.3 sehen werden.