Krümmung

Auf die Krümmung soll hier nur sehr kurz eingegangen werden; der Rest der Facharbeit verwendet den Begriff der Krümmung mehr in einem intuitiven Sinn. Es sollen hier nur diejenigen mathematischen Definitionen angegeben werden, zu dem in den Einstein'schen Feldgleichungen (4.2) vorkommenden Einstein-Tensor führen.

Zunächst einmal existiert ein Tensorfeld $R_{abc}{}^d$ derart, dass für alle Felder von 1-Formen $\omega_c$ die Gleichung

$$\nabla_a\nabla_b\omega_c-\nabla_b\nabla_a\omega_c=R_{abc}{}^d\omega_d$$ (38)

erfüllt ist [23, S. 37]. Der Tensor $R_{abc}{}^d$ heißt auch Riemann'scher Krümmungstensor. Weiterhin definiert man mit

$$R_{ac} = R_{abc}{}^b$$ (39)

den Ricci-Tensor und mit

$$R = R_a{}^a$$ (40)

den Krümmungsskalar. Der Einstein-Tensor $G_{ab}$ wir dann durch

$$G_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{2}R g_{ab}$$ (41)

definiert [23, S. 40].