Die Bewegung von Körpern in der Raumzeit

Massive Körper bewegen sich stets auf zeitartigen Kurven durch die Raumzeit, masselose auf lichtartigen. Bei der Abwesenheit von externen Feldern und vernachlässigbarer Ausdehnung der Körper sind dies stets Geodäten. Diese Tatsache könnte man aus den Einstein'schen Feldgleichungen herleiten; wir wollen sie hier einfach als zusätzliches Postulat einführen:

Postulat 3 (Geodätenhypothese)   Ein punktförmiges Objekt bewegt sich auf einer Geodäte durch die Raumzeit. Massive Objekte bewegen sich dabei auf zeitartigen, masselose auf lichtartigen Geodäten.

Um diese Geodätenhypothese trotzdem plausibel zu machen, wollen wir auf eine Analogie mit der Newton'schen Theorie zurückgreifen: In der Newton'schen Theorie geht man davon aus, dass sich Körper, auf die keine Kraft wirkt, auf Geraden bewegen (siehe Abschnitt 2.2.2). Das Konzept der Geraden ist jedoch nur im Newton'schen euklidischen Raum wohldefiniert. In gekrümmten Räumen ist die einzig geometrisch sinnvolle Verallgemeinerung der Geraden die lokal gerade Kurve, also die Geodäte.

Die Bewegungsgleichung der ART für kräftefreie Körper ist also (3.28). In dieser Gleichung spielen die Christoffel-Symbole der jeweiligen Metrik eine große Rolle. Deren Berechnung ist zwar manchmal etwas aufwändig (siehe Anhang C), stellt uns aber meistens vor keine größeren mathematischen Probleme (siehe Abschnitt 3.3). Damit erhalten wir also ziemlich einfach Differentialgleichungen der Form (3.28), deren exakte Lösung zwar meist schwierig ist, die aber zumindest numerisch gut gelöst werden können. Eine solche numerische Lösung führt auch das erstellte Simulationsprogramm durch (siehe Kapitel 7).

In der ART können natürlich auch Kräfte auftreten, obwohl sie für alle in dieser Arbeit relevanten Fälle nicht benötigt werden, da die Gravitation an sich ja keine Kraft ist. Wenn aber z. B. elektromagnetische Felder vorliegen, müssen auch in der ART Kräfte eingeführt werden. Die Bewegungsgleichung eines punktförmigen Körpers verändert sich dann von

$$T^a\nabla_a T^b = 0$$

zu

$$mT^a\nabla_aT^b = F^b,$$ (45)

wenn $T^a$ der Tangentialvektor der Bahn des Körpers, $m$ seine Masse und $F^b$ die auf ihn wirkende Kraft ist. Es ist klar, dass $T^a\nabla_aT^b$ nichts weiter als die kovariante Beschleunigung des Körpers ist. Damit ist Gleichung (4.4) die Verallgemeinerung des Newton'schen Bewegungsgesetzes (2.1). Wir haben somit die Forderung des Äquivalenzprinzips (siehe Abschnitte 1.2.2 und 4.1.2) erfüllt.