Die Schwarzschild-Lösung

Eine der ersten Lösungen der Einstein'schen Feldgleichungen war die Schwarzschild-Lösung. Sie wurde nur wenige Monate nach dem Erscheinen von Einsteins Theorie von Karl Schwarzschild (1873-1916) gefunden. In Kugelkoordinaten $(t,r,\theta,\phi)$ lautet sie

$$ds^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right) dt^2+\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1} dr^2 +r^2 d\Omega^2,$$ (46)

wobei $d\Omega^2$ eine Abkürzung für $d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2$ ist.

Die Schwarzschild-Lösung ist diejenige Lösung der Vakuum-Feldgleichungen (4.3), die alle statischen und kugelsymmetrischen Raumzeiten beschreibt. Sie repräsentiert somit die Raumzeit um ein kugelförmiges Objekt wie z. B. die Sonne oder unsere Erde, wenn man den Einfluss anderer gravitativ wirkender Objekte und die Rotation des Zentralkörpers unbeachtet lässt. Die Rotation eines Himmelskörpers definiert nämlich eine ausgezeichnete Richtung (die Rotationsachse) im Raum, dadurch wird die Kugelsymmetrie der Anordnung zerstört; die Schwarzschild'sche Lösung kann also grundsätzlich auf Probleme mit rotierenden Himmelskörpern nicht mehr angewandt werden. Kleine Rotationsgeschwindigkeiten können jedoch vernachlässigt werden, so dass z. B. in unserem Sonnensystem die Schwarzschild-Lösung die Situation zwar eigentlich nicht vollständig beschreibt, aber trotzdem sehr gute Ergebnisse produziert.

Einige ausgewählte Eigenschaften der Schwarzschild-Metrik und ihrer Bahnkurven werden in Abschnitt 5.3 noch genauer betrachtet werden. Hier wollen wir kurz auf die auftretende Singularität und auf den Ereignishorizont eingehen.

Im Zentrum eines Schwarzschild-Loches ($r=0$) tritt ein Phänomen auf, das in der Relativitätstheorie als Singularität bezeichnet wird: Die Krümmung wird unendlich groß, und zwar in jedem Koordinatensystem. Will man den Begriff Singularität exakt mathematisch definieren, stößt man schnell auf Probleme: Eine unendliche Krümmung ist mathematisch genau wie die ,,Zahl`` $\infty$ nicht exakt definiert. Damit muss man die Punkte der Mannigfaltigkeit, an denen unendliche Krümmungen auftreten würden, aus der Mannigfaltigkeit entfernen. Damit sind jedoch genau die Punkte, die als Singularität bezeichnet werden, gar nicht mehr in der Raumzeit enthalten. Der Begriff des ,,Ortes einer Singularität`` kann damit gar nicht mehr auf einfache Weise definiert werden [23, S. 212-213].

Doch wir wollen uns mit solchen technischen Details nicht lange aufhalten. Wichtig sind vor allem zwei Tatsachen:

Erstens versagen an Singularitäten die Gesetze der Physik: Bei Schwarzschild-Löchern erreichen alle in das Loch stürzenden Körper in endlicher Eigenzeit die Singularität. Damit ist alle Masse des Schwarzen Lochs an einem Punkt konzentriert. Die sich daraus ergebende unendliche Materiedichte ist physikalisch natürlich unsinnig. Es gibt keine physikalischen Gesetze, die das Verhalten der Materie unter solchen Bedingungen beschreiben könnten.

Die zweite erwähnenswerte Tatsache ist die Existenz eines Ereignishorizonts. Alle Materie, die die Grenze $r=2M$ (den so genannten Schwarzschildradius) überschritten hat, ist dazu verdammt, für immer im Schwarzen Loch zu bleiben. Ein Entkommen ist nicht mehr möglich, auch nicht für Licht. Dies ist der Grund, warum Schwarze Löcher schwarz sind⁶.

Die Existenz eines Ereignishorizonts ist ein Beispiel für kosmische Zensur. Darunter versteht man die Vermutung, dass Singularitäten in der Raumzeit immer von Horizonten umgeben sind, die verhindern, dass die Singularitäten für entfernte Beobachter direkt zu ,,sehen`` sind [23, S. 302]. Es ist noch ungeklärt, ob diese Vermutung universell gültig ist.