Die Kerr-Lösung

Setzt man zunächst

$$\Sigma := r^2+a^2\cos^2\theta$$

und

$$\Delta := r^2+a^2+e^2-2Mr,$$

so erhält man für die Kerr-Metrik [23, S. 313]

$$ds^2 = -\frac{\Delta-a^2\sin^2\theta}{\Sigma} dt^2 -\frac{2a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma} dt d\phi$$

$$+ \frac{(r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta}{\Sigma}\sin^2\theta d\phi^2 +\frac{\Sigma}{\Delta} dr^2+\Sigma d\theta^2.$$ (47)

Die Kerr-Metrik repräsentiert Raumzeiten, die bezüglich einer Achse Rotationssymmetrie aufweisen und stationär, d. h. zeitlich nicht veränderlich sind. Dies ist in der Umgebung von rotierenden Masseobjekten der Fall. Die Kerr-Metrik eignet sich besonders zur Beschreibung rotierender Schwarzer Löcher. Die hier vorgestellte Version enthält auch die Möglichkeit, dass die Zentralmasse geladen ist, kann also prinzipiell alle Schwarzen Löcher beschreiben (siehe auch Abschnitt 5.2).

Auch in der Kerr-Metrik gibt es einen Ereignishorizont. Dieser liegt bei

$$r_+ = M + \sqrt{M^2 - a^2 - e^2}.$$ (48)

Hat ein Körper den Ereignishorizont überquert, so steuert er nicht direkt auf die Singularität bei $r=0$ zu, sondern findet einen weiteren, inneren Horizont bei

$$r_- = M - \sqrt{M^2 - a^2 - e^2}$$ (49)

vor. Hat der Körper auch diesen überquert, so wird er unaufhaltsam in die Singularität stürzen. Dabei handelt es sich nicht um eine Punktsingularität wie bei der Schwarzschild-Metrik, sondern um eine Ringsingularität. Wenn $M^2 < a^2 + e^2$, gibt es keinen Ereignishorizont. In diesem Fall liegt eine so genannte nackte Singularität vor. Die Kerr-Lösung repräsentiert dann kein Schwarzes Loch⁷ [23, S. 315-316].

Ein weiteres Phänomen der Kerr-Lösung ist die so genannte Ergosphäre. Dies ist derjenige Bereich der Raumzeit außerhalb des Ereignishorizonts, wo das zur zeitlichen Symmetrie gehörende Killing'sche Vektorfeld $\xi^a = \left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^a$ raumartig ist. Wie man bei Betrachtung des Vorzeichens des $dt^2$-Koeffizienten in (4.3.1.2) erkennt, ist das für

$$r_+ < r < M + \sqrt{M^2 - e^2 - a^2\cos^2\theta}$$ (50)

der Fall. Die Ergosphäre ist graphisch in Abbildung 4.1 dargestellt.

Abbildung: Die Ergosphäre eines Kerr-Loches. Die durchgezogenen Linien bezeichnen den Ereignishorizont, die gestrichelten die äußere Grenze der Ergosphäre. $\ell$ ist die Rotationsachse ($\theta=0$) des Schwarzen Loches [23, S. 319].

Ansicht ,,von oben``		Ansicht ,,von der Seite``

Ein Körper kann innerhalb der Ergosphäre nicht ruhen (in den Koordinaten der Kerr-Metrik); würde er dies tun, so wäre $\xi^a$ der Tangentialvektor seiner Weltlinie und da $\xi^a$ raumartig ist, würde sich der Körper mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen. Weitere Überlegungen zeigen, dass ein Körper innerhalb der Ergosphäre immer in Richtung der Drehung des Schwarzen Loches um die Drehachse des Schwarzen Lochs rotieren muss [23, S. 319].

Innerhalb der Ergosphäre ist es außerdem möglich, dass Körper negative Energie besitzen. Damit ist es möglich, aus dem Schwarzen Loch Energie zu extrahieren: Ein Körper der Energie $E_0$ wird von außen in die Ergosphäre geschossen. Dort zerlegt man ihn (z. B. durch eine Explosion) in zwei Teilkörper, von denen einer die negative Energie $E_1$, der andere eine positive Energie $E_2>E_0$ trägt, so dass $E_0=E_1+E_2$ ist. Den Körper mit der Energie $E_1$ lässt man nun ins Loch fallen; der Körper mit der Energie $E_2$ verlässt die Ergosphäre wieder. Damit hat das Schwarze Loch Energie verloren, die der übrig gebliebene Probekörper trägt. Dieser Prozess wurde 1969 von Roger Penrose entdeckt [23, S. 324-325].

Die Kerr-Metrik hat noch viele weitere interessante Eigenschaften [23, S. 312-337]. Ihre Christoffel-Symbole werden in Anhang C berechnet.