Das Robertson-Walker-Friedmann-Universum

Bis jetzt haben wir nur Lösungen betrachtet, die lediglich die gravitative Wirkung eines Masseobjekts beschreiben. Man wird sich nun fragen, ob die ART auch in der Lage ist, einen groben Überblick über die Gesamtstruktur des Universums zu geben. Die Theorie kann dies tatsächlich: Die entsprechende Lösung der Einstein'schen Feldgleichungen wird auch als Robertson-Walker-Friedmann-Universum bezeichnet.

Wenn man eine Theorie des Universums aufstellt, ist auch die Ideologie eine entscheidende Komponente: Während in frühen Theorien der Mensch die Erde als Mittelpunkt des Universums auffasste, haben spätere Astronomen erkannt, dass wir nur einer von mehreren Planeten sind, der um eine von Milliarden von Sonnen in unserer Galaxie kreist, die wiederum nur eine unter Milliarden ist. Wir können inzwischen sagen, dass ,,unser`` Ort im Universum in keiner Weise irgend etwas Besonderes ist.

Wir können damit zur folgenden Annahme gelangen: Das Universum ist räumlich homogen, also an jedem Punkt gleich. Die Homogenität ist dabei ausdrücklich nicht auf die Zeitkoordinate ausgedehnt; es kann (und wird fast immer auch!) eine gewisse zeitliche Entwicklung eintreten.

Man kann zwar mathematische Modelle aufstellen, die diese Homogenität umsetzen, jedoch kann die Homogenität experimentell schlecht überprüft werden, da es keinen einfachen Weg zur Entfernungsbestimmung weit entfernter astronomischer Objekte gibt. Deshalb setzen wir unsere anfängliche Überlegung in eine ähnliche Annahme, die der Isotropie, um: Das Universum ist allen Richtungen gleich; es gibt also keine ausgezeichnete Richtung. Da wir nicht davon ausgehen, dass unsere Position etwas Besonderes ist, fordern wir, dass dies an allen Punkten des Universums gilt.

Mathematisch drückt man die Isotropie durch die Forderung aus, dass die Mannigfaltigkeit um jeden ihrer Punkte kugelsymmetrisch ist. Diese Forderung mutet zunächst etwas unplausibel an, da wir uns ein solches Szenario nur schwer vorstellen können. Allerdings können wir hier wieder eine zweidimensionale Hilfskonstruktion machen: Eine Kugeloberfläche erfüllt genau unsere Symmetrieforderung.

Auch für die Raumzeit gibt es Szenarien, in denen unsere Forderung gilt. Sie werden durch die Robertson-Walker-Friedmann-Lösung beschrieben, deren Metrik die Form

$$ds^2 = -dt^2 + S^2(t) d\sigma^2$$ (51)

hat, wobei $d\sigma^2$ die (zeitunabhängige!) Metrik eines dreidimensionalen Raumes mit konstanter Krümmung ist. Für $d\sigma^2$ können drei Fälle auftreten:

1. Die Krümmung ist konstant negativ.
2. Die Krümmung ist konstant gleich Null.
3. Die Krümmung ist konstant positiv.

Durch Skalierung der Funktion $S$ können wir die Krümmung immer auf die Werte $-1$, $0$ oder $+1$ normalisieren. Dann können wir die Metrik $d\sigma^2$ als

$$d\sigma^2 = d\chi^2 + f^2(\chi)(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)$$ (52)

schreiben, wobei für die Funktion $f$ unter Verwendung des Symbols $K$ für die normalisierte Krümmung folgendes gilt:

$$f(\chi) = \left\{ \begin{array}{ll} \sin\chi, &\hbox{wenn }... ...enn } K=0\\ \sinh\chi,&\hbox{wenn } K=-1 \end{array}\right.$$ (53)

Die Koordinate $\chi$ kann dabei für $K=0$ oder $K=-1$ Werte von 0 bis $\infty$ annehmen, während im Fall $K=+1$ nur Werte von 0 bis $2\pi$ möglich sind.

Was bringt uns nun dieser mathematische Formalismus? Nun, mit Hilfe der so genannten Raychaudhuri-Gleichung kann man zeigen, dass unter sinnvollen Bedingungen die Funktion $S$ in Gleichung (4.10) niemals konstant sein kann; dies bedeutet jedoch, dass das Universum immer entweder expandieren oder kontrahieren muss! Slipher und Hubble lieferten erstmals experimentelle Belege dafür, als sie erkannten, dass sich alle Galaxien von uns wegbewegen. Weiterhin kann man zeigen, dass $S$ sogar vor endlicher Zeit $t_0$ gleich Null gewesen sein muss. Dies ist jedoch nichts anderes, als die Vorhersage des Urknalls, da $S(t)=0$ bedeutet, dass das Universum zur Zeit $t$ keine räumliche Ausdehnung mehr besitzt, dass also alle Materie auf einem Punkt konzentriert war. Damit war die Dichte ,,vor`` dem Urknall unendlich hoch und es lag eine Singularität vor.

Auch für die Zukunft des Universums können mit dem Robertson-Walker-Friedmann-Modell Aussagen gemacht werden: Wenn die Krümmung positiv ist ($K=1$), wird unter bestimmten Bedingungen ein erneuter Kollaps des Universums vorhergesagt; bei $K=0$ oder $K=1$ wächst $S$ immer weiter und damit expandiert auch das Universum eine unendliche Zeit weiter.

Die hier gegebene Einführung in die Leistungen der ART für die Kosmologie ist notwendigerweise unvollständig: Zum einen musste auf die Herleitung der mathematischen Tatsachen verzichtet werden, zum anderen wurde die so genannte kosmologische Konstante vernachlässigt.

Insgesamt kann man jedoch sagen, dass jede Kosmologie unvollständig ist: Um das gesamte Universum überhaupt beschreiben zu können, müssen sehr idealisierte Annahmen getroffen werden; in unserem Beispiel war das die Kugelsymmetrie des Universums in jedem Punkt. Global ist diese Annahme wohl zu rechtfertigen, lokal ist sie jedoch schlichtweg falsch, und wir wissen nicht, ob derartige Annahmen nicht ein völlig verfälschtes Bild unseres Universums ergeben.

[9, S. 134-142]