Bahnkurven bei Schwarzschild-Löchern

Die Schwarzschild-Metrik lautet nach Gleichung (4.5):

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2+\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 +r^2d\Omega^2$$ (55)

Diese Metrik ist nicht von $t$ und $\Omega$ abhängig. Die Basisvektorfelder $\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^a$ und $\left(\frac{\partial}{\partial\Omega}\right)^a$ sind also Killing'sche Vektorfelder. Es ergeben sich nach Satz 3.21 damit zwei Erhaltungsgrößen [23, S. 139], nämlich

$$E := \left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot t$$

und

$$L := r^2\dot\Omega.$$

Da sich die Körper auf Geodäten bewegen, ist die Länge des Tangentialvektors ihrer Bahn bei Parametrisierung nach der Eigenzeit konstant gleich $-1$. Setzt man in die Metrik die jeweiligen Geschwindigkeiten als Vektorkomponenten und die Erhaltungsgrößen an den entsprechenden Stellen ein, so erhält man:

$$-\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}E^2+\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}\dot r^2 +\frac{L^2}{r^2} = -1$$

$$\dot r^2 = E^2-\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(1+\frac{L^2}{r^2}\right)$$ (56)

Wir führen jetzt das Symbol

$$V(r) := \left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(1+\frac{L^2}{r^2}\right)$$ (57)

eine. Dieses verwenden wir nun in Gleichung (5.2) und leiten diese nach der Eigenzeit ab [17, S. 278]:

$$2\dot r\ddot r = -\frac{dV(r)}{dr}\dot r$$

$$\ddot r = -\frac{1}{2}\frac{dV(r)}{dr}$$ (58)

Damit können wir $V(r)$ praktisch als effektives Potential auffassen. Wir werden auf dieses Potential nochmal in Abschnitt 5.3.1 zurückkommen, wenn wir auf die verschiedenen Typen von Bahnkurven eingehen.

Kommen wir nun zur physikalischen Interpretation der Erhaltungsgrößen: Setzen wir dazu Gleichung (5.3) in Gleichung (5.2) ein und formen etwas um:

$$V(r) + \dot r^2 = E^2$$ (59)

Da die Masse des orbitierenden Körpers keinen Einfluss auf seine Bewegung hat, können wir annehmen, sie sei gleich $1$. Damit steht in Gleichung (5.5) auf der linken Seite nun die Summe von potentieller und kinetischer Energie des Körpers (in radialer Richtung). Damit können wir die Konstante $E^2$ als Gesamtenergie des Körpers betrachten und Gleichung (5.5) als Energieerhaltungsbeziehung.

Die Größe $L$ ist, wenn die Masse wieder gleich $1$ ist, schon äußerlich als Drehimpuls des Körpers identifizierbar.