Klassifikation der Bahnkurven

Zur Klassifikation der Bahnkurven werden wir vor allem auf die radiale Komponente der Bewegung zurückgreifen. Hierzu werden wir nun, wie bereits angekündigt, die effektive Potentialfunktion $V(r)$ (5.3) diskutieren:

$$V(r) = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(1+\frac{L^2}{r^2}\right)$$

Betrachten wir zunächst das Verhalten dieser Funktion an den Rändern ihrer Definitionsmenge. Wir müssen also die Limites

$$\lim_{r\to\infty} V(r)$$

und

$$\lim_{r\to0} V(r)$$

bilden. Formen wir dazu zunächst den Funktionsterm etwas um:

$$V(r) = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(1+\frac{L^2}{r^2}\right)$$

$$= 1-\frac{2M}{r}+\frac{L^2}{r^2}-\frac{2ML^2}{r^3}$$ (60)

$$= \frac{r^3-2Mr^2+L^2r-2ML^2}{r^3}$$ (61)

Wenn nun $r$ gegen $\infty$ geht, so gehen die drei Terme in Gleichung (5.6), die Potenzen von $r$ im Nenner stehen haben, gegen Null. Es gilt also:

$$\lim_{r\to\infty} V(r) = 1$$ (62)

An Gleichung (5.7) kann man erkennen, dass das effektive Potential bei $r=0$ einen dreifachen Pol hat. Es gilt also:

$$\lim_{r\to0} V(r) = -\infty,$$ (63)

da in der Nähe der Null das negative Vorzeichen des Terms $-2ML^2$ im Zähler den Ausschlag gibt.

Als nächstes wenden wir uns den Nullstellen des Potentials zu. Dazu formen wir den Ausdruck (5.3) erneut etwas um:

$$V(r) = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(1+\frac{L^2}{r^2}\right)$$

$$= \frac{1}{r^3}(r-2M)(r^2+L^2)$$ (64)

Wir erkennen, dass $V(r)$ genau eine Nullstelle bei $r=2M$ hat. Dies ist genau der Schwarzschildradius, was jedoch keine Auswirkungen für unsere Diskussion hat, da der Nullpunkt eines Potentials beliebig wählbar ist.

Bilden wir nun die Ableitung des effektiven Potentials:

$$V'(r) = \frac{2M}{r^2}\left(1+\frac{L^2}{r^2}\right) -\left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{2L^2}{r^3}$$

$$= \frac{2M}{r^2}+\frac{2ML^2}{r^4}-\frac{2L^2}{r^3} +\frac{4ML^2}{r^4}$$

$$= \left(2Mr^2-2L^2r+6ML^2\right)/r^4$$ (65)

Zur Ermittlung der Nullstellen der Ableitung betrachten wir die Diskriminante des Zählers von (5.11):

$$D = \left(-2L^2\right)^2-4\cdot2M\cdot6ML^2 = 4L^4-4\cdot12M^2L^2 = 4L^2\left(L^2-12M^2\right)$$ (66)

Es können nun drei Fälle auftreten:

a)

$L^2<12M^2$
In diesem Fall ist die Diskriminante negativ. Die Funktion $V'(r)$ hat also keine Nullstellen. Weiterhin erkennt man z. B. durch Einsetzen, dass $V'(r)$ immer positiv ist. Das effektive Potential hat also keine Extrema und ist streng monoton steigend.

b)

$L^2=12M^2$
Hier ist die Diskriminante Null. Die Ableitung des effektiven Potentials hat also genau eine Nullstelle. Da dies eine doppelte Nullstelle ist, hat die Ableitung dort keinen Vorzeichenwechsel. Sie ist also immer nichtnegativ. Das effektive Potential ist auch hier wieder streng monoton steigend, hat jetzt aber einen Terrassenpunkt an der Nullstelle der Ableitung. Diese Nullstelle ist gegeben durch $L^2/2M$.

c)

$L^2>12M^2$
Hier ist die Diskriminante positiv. $V'(r)$ hat also zwei reelle Nullstellen. Da der Zähler von (5.11) eine nach oben geöffnete Parabel ist und der Nenner nie negativ wird, ist der linke der beiden Vorzeichenwechsel von $V'(r)$ von $+$ nach $-$, der rechte von $-$ nach $+$. Für $V(r)$ bedeutet dies, dass man, von links kommend, zunächst auf ein Maximum, dann auf ein Minimum stößt. Dazwischen liegen die erwarteten Monotonieeigenschaften vor.

Die gewonnenen Erkenntnisse sind für die drei Fälle skizzenhaft in Abbildung 5.3 veranschaulicht.

Abbildung 5.3: Je nach dem Wert des Drehimpulses $L$ des orbitierenden Körpers im Vergleich zu Masse $M$ des Schwarzen Loches ergeben sich verschiedene Kurven für das effektive Potential

$$\includegraphics{figures/pot1.mps} \includegraphics{figures/pot2.mps} \includegraphics{figures/pot3.mps}$$

Betrachten wir nun die physikalischen Konsequenzen für die Bahnkurven der einzelnen Typen, indem wir beachten, dass die Steigung des effektiven Potentials die Beschleunigung in radialer Richtung ausdrückt (Gleichung (5.4)):

a)

Hier erfährt der Körper in radialer Richtung immer eine Beschleunigung zum Zentrum des Schwarzen Loches hin. Bewegt sich der Körper in die richtige Richtung und reicht seine Energie aus, so kann er ins Unendliche entkommen. Ansonsten muss er ins Loch stürzen.

b)

Hier gibt es genau eine Kreisbahn, nämlich beim Terrassenpunkt $T$ des effektiven Potentials, da hier keine radiale Beschleunigung auf den Körper wirkt. Diese Bahn ist jedoch nur in eine Richtung stabil: Weicht der Körper nach außen ab, so wird er sofort wieder nach innen gezogen. Wenn der Körper jedoch nach innen abweicht, wird er weiter nach innen beschleunigt und wird ins Schwarze Loch fallen. Außer dieser Kreisbahn gibt es noch die Bahnen aus Fall a).

c)

Dies ist der komplizierteste Fall. Zunächst gibt es hier zwei verschiedene Kreisbahnen. Sie befinden sich bei den Extrema des effektiven Potentials. Die Kreisbahn bei Punkt $A$ ist instabil, da jede kleine Abweichung vom Kreisradius eine Beschleunigung weg von diesem Radius verursacht. Die zweite Kreisbahn, die sich bei Punkt $B$ befindet, ist stabil: Eine kleine Abweichung vom Kreisradius verursacht eine Beschleunigung zurück zu diesem Radius. Außer den Kreisbahnen gibt es hier auch ellipsenartige Bahnen: Reicht die kinetische Energie des Körpers weder aus, um ins Unendliche zu entkommen, noch um den Potentialwall bei Punkt $A$ zu überwinden, so pendelt der Abstand des Körpers immer zwischen zwei Extremwerten, die durch die $r$-Werte der Schnittpunkte der Geraden $y=E^2$ mit dem Graphen des effektiven Potentials bestimmt werden. Diese Bahnen sind nur angenähert Ellipsen, weil eine so genannte Periheldrehung auftritt (siehe Abschnitt 5.3.2). Außer den ellipsenartigen Bahnen treten und den Kreisbahnen hier natürlich bei entsprechend hoher Energie des Körpers auch die Kurven aus Fall a) auf.