Numerik

Das Computerprogramm soll Bahnkurven in gekrümmten Räumen berechnen und graphisch darstellen. Die geodätische Gleichung (3.28) liefert dazu Koordinatenbeschleunigungen. Dem Programm sollen ferner die anfängliche Position und Geschwindigkeit mitgeteilt werden. In der Numerik bezeichnet man diese Aufgabenstellung als Anfangswertproblem bei gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Die Algorithmen zur Lösung dieses Problems verwenden alle folgendes Verfahren: Aus den vorliegenden Bewegungsdaten (Position, Geschwindigkeit) zu einer bestimmten Zeit $t$ werden in einem Berechnungsschritt die Bewegungsdaten zu einer etwas späteren Zeit $t+\Delta t$ ermittelt. Im Folgenden werden die Bewegungsgrößen des Körpers vor dem Berechnungsschritt mit $x_n$ und $v_n$ bezeichnet, die entsprechenden Größen nach dem Schritt mit $x_{n+1}$ und $v_{n+1}$. Die Beschleunigung des Körpers ist im Allgemeinen eine Funktion $a(t, x, v)$ von der Integrationsvariablen $t$, der Position $x$ und der Geschwindigkeit $v$ des Körpers. Da in der ART eine Abhängigkeit der Beschleunigung von der Eigenzeit (sie ist unsere Integrationsvariable) nicht vorliegt und die Koordinatenzeit bereits in der Position des Körpers enthalten ist, wird der Funktionsparameter $t$ bei der Erläuterung der Algorithmen nicht berücksichtigt werden; die Beschleunigung wird also mit $a(x, v)$ bezeichnet.