Das Adams-Störmer-Prädiktor-Korrektor-Verfahren

Die verwendeten Programmierverfahren bieten die Möglichkeit, ohne größere Umstände neue Lösungsverfahren hinzuzufügen (siehe auch Abschnitt 7.3). Aus diesem Grund wurde das Programm um das Adams-Störmer-Verfahren erweitert. Es handelt sich hierbei um die Kombination eines Adams-Bashforth-Prädiktor-Verfahrens mit einem Adams-Moulton-Korrektor-Verfahren. Das Verfahren funktioniert in etwa folgendermaßen: Zunächst wird mit Hilfe von Berechnungsdaten aus vorausgehenden Schritten ein Berechnungsergebnis vorausgesagt (Prädiktorschritt), das dann in einem oder mehreren Korrektorschritten als Grundlage für eine genauere Berechnung verwendet wird. Der Vorteil dieses Verfahrens liegt vor allem im geringeren Rechenaufwand [6, S. 437-438]. Das Verfahren weist jedoch auch Nachteile auf:

• Das Verfahren ist nicht selbststartend: Jeder Berechnungsschritt greift auf Ergebnisse vorhergehender Schritte zurück; die entsprechenden Daten für die ersten Schritte müssen somit mit einem anderen Verfahren gewonnen werden [6, S. 437]. Dieses Problem lässt sich relativ leicht umgehen; im Programm wird beispielsweise für die ersten vier Iterationen automatisch das Runge-Kutta-Nyström-Verfahren verwendet.
• Die Verwendung von Berechnungsdaten vorheriger Schritte impliziert, dass die Schrittweite immer gleich bleibt. Dies ist im Programm nicht immer unbedingt erfüllt, da der nächste Schritt immer dann erfolgt, wenn der vorherige abgeschlossen ist, wobei die Schrittweite proportional zur wirklich vergangenen Zeit gewählt wird, um einen einigermaßen realistisch wirkenden Simulationsablauf zu erreichen. Der Rechenaufwand und damit der Zeitbedarf für die einzelnen Schritte ist zwar relativ konstant; durch die Grafikausgabe oder andere laufende Programme können sich aber doch Schwankungen ergeben.

Trotz der Nachteile hier das Adams-Störmer-Verfahren [5, S. 250]:

1. Berechnung der ,,vorausgesagten`` Werte:
   

   $$x_{n+1}^P = x_n + v_n\cdot\Delta t + \frac{(\Delta t)^2}{360} (323a_n - 264a_{n-1} + 159a_{n-2} - 38a_{n-3})$$ (76)

   $$v_{n+1}^P = v_n + \frac{\Delta t}{24} (55a_n - 59a_{n-1} + 37a_{n-2} - 9a_{n-3})$$ (77)

   
   

2. Berechnung von
   

   $$a_N = a(x_{n+1}^P, v_{n+1}^P).$$ (78)

   
   

3. Korrektur der Werte aus Schritt 1:
   

   $$x_{n+1} = x_n + v_n\cdot\Delta t$$

   $$+ \frac{(\Delta t)^2}{1440} (135a_N + 752a_n - 246a_{n-1} + 96a_{n-2} - 17a_{n-3})$$ (79)

   $$v_{n+1} = v_n + \frac{\Delta t}{720} (251a_N + 646a_n - 246a_{n-1} + 106a_{n-2} - 19a_{n-3})$$ (80)

   
   

4. Berechnung von
   

   $$a_N = a(x_{n+1}, v_{n+1})$$ (81)

   
   
   mit den Werten aus dem vorhergehenden Schritt und Wiederholung von Schritt 3 mit dem neuen $a_N$.