Christoffel-Symbole

Aus der Schwarzschild-Metrik in den Koordinaten $(t,r,\theta,\phi)$,

$$g_{\alpha\beta} = \left( \begin{array}{cccc} -\left(1-\frac{2M}{r}\right) &0 &0 &0 ... ...t)^{-1} &0 &0 \\ 0 &0 &r^2 &0 \\ 0 &0 &0 &r^2\sin^2\theta \end{array}\right),$$ (82)

ihrem Inversen,

$$g^{\alpha\beta} = \left( \begin{array}{cccc} -\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1} &0 &... ...&0 &\frac{1}{r^2} &0 \\ 0 &0 &0 &\frac{1}{r^2\sin^2\theta} \end{array}\right),$$ (83)

und ihren partiellen Ableitungen,

$$\partial_tg_{\alpha\beta} = \left( \begin{array}{cccc} 0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \end{array}\right),$$ (84)

$$\partial_rg_{\alpha\beta} = \left( \begin{array}{cccc} -\frac{2M}{r^2} &0 &0 &0 \\ 0 &-\frac... ...(r-2M)^2} &0 &0 \\ 0 &0 &2r &0 \\ 0 &0 &0 &2r\sin^2\theta \end{array}\right),$$ (85)

$$\partial_\theta g_{\alpha\beta} = \left( \begin{array}{cccc} 0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &2r^2\sin\theta\cos\theta \end{array}\right),$$ (86)

$$\partial_\phi g_{\alpha\beta} = \left( \begin{array}{cccc} 0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \end{array}\right),$$ (87)

erhalten wir mit der Formel (3.26) die Christoffel-Symbole

$$\Gamma^t{}_{\alpha\beta} = \left( \begin{array}{cccc} 0 &\frac{M}{r(r-2M)} &0 &0 \\ \frac{M}{r(r-2M)} &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \end{array}\right),$$ (88)

$$\Gamma^r{}_{\alpha\beta} = \left( \begin{array}{cccc} \frac{M}{r^2}\left(1-\frac{2M}{r}\righ... ...r)} &0 &0 \\ 0 &0 &2M-r &0 \\ 0 &0 &0 &(2M-r)\sin^2\theta \end{array}\right),$$ (89)

$$\Gamma^\theta{}_{\alpha\beta} = \left( \begin{array}{cccc} 0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &r^{-1} &0 \\ 0 &r^{-1} &0 &0 \\ 0 &0 &0 &-\sin\theta\cos\theta \end{array}\right),$$ (90)

$$\Gamma^\phi{}_{\alpha\beta} = \left( \begin{array}{cccc} 0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &r^{-1} \\ 0 &... ...\frac{1}{\tan\theta} \\ 0 &r^{-1} &\frac{1}{\tan\theta} &0 \end{array}\right).$$ (91)

Die Klassen schwarzschild3 (siehe Abschnitt D.13) und schwarzschild4 (siehe Abschnitt D.14) enthalten diese Christoffel-Symbole in einer für das Programm ,,verständlichen`` Form.