Parametrisierung nach der Koordinatenzeit

Die Simulation soll die Bewegung aus der Sicht eines externen Beobachters wiedergeben; deshalb benötigen wir Bewegungsgleichungen in Abhängigkeit von der Koordinatenzeit $t$. Die Gleichung (3.28) liefert uns nur eine nach der Eigenzeit $s$ parametrisierte Form. Wir formen diese Gleichung etwas um, wobei wir hier die implizite Summation wegen der kürzeren Schreibweise entgegen unserer Konvention auch für griechische Indizes verwenden:

$$\frac{d^2x^\alpha}{ds^2} = -\Gamma^\alpha{}_{\beta\gamma}\frac{dx^\beta}{ds} \frac{dx^\gamma}{ds}$$ (92)

$$\frac{d}{ds}\left(\frac{dx^\alpha}{dt}\frac{dt}{ds}\right) = -\Gamma^\alpha {}_{\beta\gamma}\frac{dx^\beta}{dt}\frac{dx^\gamma}{dt}\left(\frac{dt}{ds} \right)^2$$ (93)

$$\frac{d}{ds}\left(\frac{dx^\alpha}{dt}\right)\frac{dt}{ds} + \frac{dx^\alpha}{dt}\frac{d^2t}{ds^2} = -\Gamma^\alpha {}_{\beta\gamma}\frac{dx^\beta}{dt}\frac{dx^\gamma}{dt}\left(\frac{dt}{ds} \right)^2$$ (94)

$$\frac{d^2x^\alpha}{dt^2}\left(\frac{dt}{ds}\right)^2 + \frac{dx^\alpha}{dt}\frac{d^2t}{ds^2} = -\Gamma^\alpha {}_{\beta\gamma}\frac{dx^\beta}{dt}\frac{dx^\gamma}{dt}\left(\frac{dt}{ds} \right)^2$$ (95)

$$\frac{d^2x^\alpha}{dt^2}\left(\frac{dt}{ds}\right)^2 = -\Gamma^\alpha{}_{\beta\gamma}\frac{dx^\beta}{dt}\frac{dx^\gamma}{dt} \left(\frac{dt}{ds}\right)^2 - \frac{dx^\alpha}{dt}\frac{d^2t}{ds^2}$$ (96)

$$\frac{d^2x^\alpha}{dt^2} = -\Gamma^\alpha{}_{\beta\gamma}\frac{dx^\beta}{dt} \frac{dx^\gamma... ...beta\gamma} \frac{dx^\beta}{ds}\frac{dx^\gamma}{ds}\left(\frac{ds}{dt}\right)^2$$ (97)

$$\frac{d^2x^\alpha}{dt^2} = -\Gamma^\alpha{}_{\beta\gamma}\frac{dx^\beta}{dt} \frac{dx^\gamma... ...{dx^\alpha}{dt}\Gamma^t{}_{\beta\gamma} \frac{dx^\beta}{dt}\frac{dx^\gamma}{dt}$$ (98)

Damit haben wir eine allgemeine Bewegungsgleichung in Abhängigkeit von der Koordinatenzeit. Diese wurde in der Klasse xv_time_field (siehe Abschnitt D.10) umgesetzt.