Vergleich der numerischen Algorithmen

Vergleichen wir zunächst den Euler-Cauchy- mit dem Runge-Kutta-Algorithmus. Wir laden dazu die Datei algocomp.par (siehe Abschnitt D.17) ins Programm und löschen im Extras->Bodies...-Dialog den Adams-Störmer-Körper. Wir starten nun die Simulation. Es werden zwei Körper simuliert, die jeweils mit identischen Anfangsbedingungen starten. Gelb dargestellt ist der mit dem Euler-Cauchy-Verfahren berechnete Körper, violett der Runge-Kutta-Körper.

Nach einer Umrundung ergibt sich eine kleine, aber bereits merkliche Abweichung:

$$\includegraphics[width=9.6cm]{screenshots/grav1}$$

Eine Bewertung der Algorithmen ist zu diesem Zeitpunkt noch nicht möglich. Nach mehreren Umrundungen sieht dies schon anders aus:

$$\includegraphics[width=9.6cm]{screenshots/grav2}$$

Man sieht nun, dass der Euler-Cauchy-Algorithmus die ,,Bahnradien`` offensichtlich anwachsen lässt, was nicht der Theorie entspricht, die sich drehende Ellipsen konstanter Größe voraussagt. Nach einer Periheldrehung von $360^\circ$ ist es ganz klar:

$$\includegraphics[width=9.6cm]{screenshots/grav3}$$

Der Euler-Cauchy-Algorithmus ist also zur Simulation längerer Zeitabschnitte nicht sehr gut geeignet, was man auch schon an seiner Fehlerordnung $O\left((\Delta t)^2\right)$ erkennt, die dazu führt, dass sich die Fehler sehr schnell addieren.

Vergleichen wir nun noch den Adams-Störmer-Algorithmus mit dem Runge-Kutta-Algorithmus, indem wir die Parameter-Datei algocomp2.par (siehe Abschnitt D.18) verwenden. Wie folgendes Bild zeigt, weist der Adams-Störmer-Algorithmus (gelb) bei längerer Simulationsdauer die gleichen Symptome auf wie der Euler-Cauchy-Algorithmus, allerdings in weniger ausgeprägter Form:

$$\includegraphics[width=9.6cm]{screenshots/grav4}$$

Damit ist der insgesamt am besten zur Simulation geeignete Algorithmus der Runge-Kutta-Algorithmus. In allen anderen Parameter-Dateien wurde er deshalb auch verwendet.