Topologische Räume

Ein Raum ist zunächst einmal nichts weiter als eine Menge von Punkten. Durch die Topologie wird auf dieser Menge nun eine bestimmte Struktur eingeführt. Diese formalisiert die anschauliche Vorstellung, dass es zu jedem Punkt eines Raumes andere Punkte gibt, die in seiner Nähe liegen, indem jedem Punkt eine Menge von Umgebungen zugeordnet werden. Ein Raum, auf dem eine derartige Struktur definiert ist, heißt auch topologischer Raum. Formal kann man ihn folgendermaßen definieren [11, S. 9-10]:

Definition 8.1 (Topologischer Raum)   Ein topologischer Raum ist ein geordnetes Paar $(X, \mathcal{U})$, bestehend aus einer Menge $X$ und einer Familie $\mathcal{U}=\{\mathcal{U}_x\}_{x\in X}$ von Mengen $\mathcal{U}_x$ von Teilmengen von $X$, genannt ,,Umgebungen von $x$`` derart, dass die folgenden Bedingungen (Hausdorff'sche Umgebungsaxiome) erfüllt sind:

1. Jede Umgebung von $x$ enthält $x$; ganz $X$ umgibt jeden seiner Punkte.
2. Umfasst $V\subset X$ eine Umgebung von $x$, so ist es selbst Umgebung von $x$.
3. Der Durchschnitt von je zwei Umgebungen von $x$ ist Umgebung von $x$.
4. Jede Umgebung von $x$ enthält eine Umgebung von $x$, die jeden ihrer Punkte umgibt.

Basierend auf dieser Definition lassen sich nun die Begriffe der offenen und abgeschlossenen Mengen definieren [11, S. 8-9]:

Definition 8.2 (Offene und abgeschlossene Mengen)   Im folgenden sei $X$ ein topologischer Raum.

• Eine Menge $A\subset X$, die alle ihre Punkte umgibt, heißt offen.
• Eine Menge $A\subset X$ heißt abgeschlossen, wenn $X\setminus A$ offen ist.

Die Definition der offenen Mengen kann nun dazu verwendet werden, die Hausdorff'schen Umgebungsaxiome in die folgenden Axiome umzuformen, die die heutzutage übliche Definition eines topologischen Raums sind. [11, S. 7]:

Definition 8.3 (Topologischer Raum)   Ein topologischer Raum ist ein geordnetes Paar $(X,\mathcal{O})$, bestehend aus einer Menge $X$ und einer Menge $\mathcal{O}$ von Teilmengen (genannt offene Mengen) von $X$, derart, dass gilt:

1. Beliebige Vereinigungen von offenen Mengen sind offen.
2. Der Durchschnitt von je zwei offenen Mengen ist offen.
3. $\emptyset$ und $X$ sind offen.

$\mathcal{O}$ heißt auch die Topologie des topologischen Raumes $(X,\mathcal{O})$.

Damit genügt es also, eine Menge von offenen Mengen von $X$ anzugeben, um die topologische Struktur von $X$ festzulegen.