Metrische Räume

Nach den vorangegangenen Betrachtungen ist natürlich auch der $\mathbb{R}^n$ bei geeigneter Wahl der offenen Mengen ein topologischer Raum. Es soll nun untersucht werden, mit welchen Mitteln man eine Topologie definieren kann, die den ,,üblichen`` Eigenschaften des $\mathbb{R}^n$ entspricht.

Wie wir oben gesehen haben, geht es bei Topologien offenbar um Nähe. Diese sollte sich doch recht einfach durch eine Abstandsfunktion untersuchen lassen. Eine solche Abstandsfunktion heißt auch Metrik; einen Raum, auf dem eine Metrik definiert ist, nennt man metrischen Raum. Die Metrik muss dabei die folgende Definition erfüllen [11, S. 10-11]:

Definition 8.4 (Metrischer Raum)   Unter einem metrischen Raum versteht man ein Paar $(X,d)$, bestehend aus einer Menge $X$ und einer reellen Funktion $d:X\times X\to\mathbb{R}$ (der Metrik), derart, dass gilt:

1. $d(x,y)\ge0$ für alle $x,y\in X$ und $d(x,y)=0$ genau dann, wenn $x=y$.
2. $d(x,y)=d(y,x)$ für alle $x,y\in X$.
3. $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ für alle $x,y,z\in X$ (,,Dreiecksungleichung``).

Ein metrischer Raum lässt sich nun folgendermaßen mit einer Topologie versehen, die die metrische Struktur widerspiegelt [11, S. 11]:

Definition 8.5 (Topologie eines metrischen Raumes)   Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge $V\subset X$ heiße offen, wenn es zu jedem $x\in V$ ein $\varepsilon>0$ gibt, so dass die ,,$\varepsilon$-Kugel`` $K_\varepsilon:=\{y\in X\;\vert\;d(x,y)\le\varepsilon\}$ um $x$ noch ganz in $V$ liegt. Die Menge $\mathcal{O}(d)$ aller offenen Teilmengen von $X$ heißt die Topologie des metrischen Raumes $(X,d)$.

Man kann zeigen, dass diese Topologie die nötigen Axiome aus Definition A.3 erfüllt.

Damit lässt sich nun auch auf einfache Weise der Weg zur ,,üblichen`` Topologie des $\mathbb{R}^n$ beschreiben: Die beiden Punkte $x,y\in\mathbb{R}^n$ mit $x=(x_1,\ldots,x_n)$ und $y=(y_1,\ldots,y_n)$ haben einen Abstand von

$$d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(y_i-x_i\right)^2} .$$ (99)

Nach Definition A.5 lässt sich nun sehr einfach eine Topologie von $\mathbb{R}^n$ konstruieren, die seine metrischen Eigenschaften berücksichtigt.

Bei der topologischen Betrachtung von Räumen stellt sich heraus, dass von Metriken induzierte Topologien besondere Eigenschaften haben. Man definiert deshalb [11, S. 12]:

Definition 8.6 (Metrisierbare Räume)   Ein topologischer Raum $(X,\mathcal{O})$ heißt metrisierbar, wenn es eine Metrik $d$ auf $X$ mit $\mathcal{O}(d)=\mathcal{O}$ gibt.