Teilräume und Produkte

In der Topologie ist oft von Teilräumen irgendwelcher topologischer Räume, insbesondere des $\mathbb{R}^n$, die Rede. Dabei ist die entsprechende Teilmenge zusammen mit der durch den topologischen Raum nach folgender Definition induzierten Teilraumtopologie gemeint [11, S. 13]:

Definition 8.8 (Teilraum)   Ist $(X,\mathcal{O})$ ein topologischer Raum und $X_0\subset X$ eine Teilmenge, so heißt die Topologie

$$\mathcal{O}\vert X_0 := \{U\cap X_0\;\vert\;U\in\mathcal{O}\}$$

auf $X_0$ die induzierte oder Teilraumtopologie, und der topologische Raum $(X_0,\mathcal{O}\vert X_0)$ heißt Teilraum von $(X,\mathcal{O})$.

Aus den Topologien zweier Mengen $X$ und $Y$ lässt sich eine Topologie für das kartesische Produkt $X\times Y$ erstellen [11, S. 14]:

Definition 8.9 (Produkttopologie)   Seien $X$ und $Y$ topologische Räume. Eine Teilmenge $W\subset X\times Y$ heißt offen in der Produkttopologie, wenn es zu jedem Punkt $(x,y)\in W$ Umgebungen $U$ von $x$ in $X$ und $V$ von $y$ in $Y$ gibt, so dass $U\times V\subset W$. Mit der dadurch definierten Topologie heißt der topologische Raum $X\times Y$ das (kartesische) Produkt der Räume $X$ und $Y$.

Damit haben wir nun erst einmal genügend Möglichkeiten, Topologien für gegebene Mengen mit bekannten Eigenschaften zu konstruieren.