Stetige Abbildungen

Das wichtigste Konzept, das die Topologie für praktische Anwendungen vor allem in der Physik zur Verfügung stellt, ist das der stetigen Abbildung. Dieser Begriff lässt sich mit Hilfe der offenen Mengen sehr einfach fassen [11, S. 16]:

Definition 8.10 (Stetige Abbildung)   Seien $X$ und $Y$ topologische Räume. Eine Abbildung $f:X\to Y$ heißt stetig, wenn die Urbilder offener Mengen stets wieder offen sind.

Eine sehr häufig gebrauchte Art von Abbildungen sind die so genannten Homöomorphismen. Ihre Definition führt sie auf stetige Abbildungen zurück [11, S. 17]:

Definition 8.11 (Homöomorphismus)   Eine bijektive Abbildung $f:X\to Y$ heißt Homöomorphismus, wenn $f$ und $f^{-1}$ beide stetig sind, d. h. wenn $U\subset X$ genau dann offen ist, wenn $f(U)\subset Y$ offen ist.