Die Euler-Lagrange-Gleichung

Viele Probleme in der Physik, vor allem das Aufstellen von Bewegungsgleichungen in der Mechanik, lassen sich sehr einfach mit Hilfe des Lagrangeformalismus lösen. Dieser soll im Folgenden kurz erläutert werden. Es wird dabei im Wesentlichen auf die Darstellung aus [14, S. 2-4] zurückgegriffen.

Gesucht ist eine Funktion $q(t)$ derart, dass das Integral

$$S=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q,t) dt$$ (100)

einen extremalen Wert annimmt. Angenommen, $q(t)$ erfülle die geforderte Bedingung. Wir ersetzen nun $q(t)$ durch die Funktion $q(t)+\delta q(t)$, wobei $\delta q(t)$ eine Variation mit $\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0$ ist. Die Änderung $\delta S$ von $S$ bei infinitesimalen Variationen $\delta q(t)$ berechnet sich nun nach

$$\begin{eqnarray*} \delta S &=& \delta\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q,t) dt\\ &=& \i... ... q + \frac{\partial L}{\partial\dot q}\delta\dot q\right) dt\\ \end{eqnarray*}$$

Unter Verwendung partieller Integration und der Tatsache, dass $\delta\dot q=\frac{d}{dt}\delta q$ ist, erhält man:

$$\delta S = \left.\frac{\partial L}{\partial\dot q}\delta q\right\vert _{t_1}... ...}{\partial q} -\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right)\delta q dt$$

$$= \int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q} -\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right)\delta q dt$$ (101)

Damit $S$ extremal ist, muss $\delta S=0$ sein. Dafür muss der Integrand in Gleichung (B.2) verschwinden. Insgesamt ergibt sich also die Euler-Lagrange-Gleichung

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0.$$ (102)

Eine ähnliche Herleitung, die speziell auf die ART bezogen ist, findet man in [23, S. 44-45].