Herleitung der Christoffel-Symbole für die Kerr-Metrik

Aus der Kerr-Metrik (4.6) erhält man mittels (3.31) trivialerweise die Lagrange-Funktion

$$L = -\frac{\Delta-a^2\sin^2\theta}{\Sigma}\dot t^2 -\frac{2a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma}\dot t\dot\phi$$

$$+ \frac{(r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta}{\Sigma}\sin^2\theta \dot\phi^2 +\frac{\Sigma}{\Delta}\dot r^2+\Sigma\dot\theta^2.$$ (103)

Der Punkt bezeichnet dabei natürlich wieder die Ableitung nach der Eigenzeit, also unserem Kurvenparameter.

Zum Aufstellen der Bewegungsgleichung benötigen wir nun die Euler-Lagrange-Gleichung (B.3). Da hier die partiellen Ableitungen nach allen Koordinaten und den dazugehörigen Geschwindigkeiten gebildet werden müssen, bietet es sich für die vorliegende Lagrange-Funktion an, zunächst diese Ableitungen für die beiden Symbole

$$\Sigma = r^2+a^2\cos^2\theta$$

und

$$\Delta = r^2+a^2+e^2-2Mr$$

zu bilden. Man beachte hierbei, dass $M$, $a$ und $e$ Konstanten sind (siehe auch Abschnitt 4.3.1.2):

$$\begin{array}{rclrclrclrcl} \frac{\partial\Sigma}{\partial t}... ... &\frac{\partial\Delta}{\partial\dot\theta} &=& 0. \end{array}$$

Zusätzlich benötigen wir die Ableitung von $\Sigma$ und $\Delta$ nach der Eigenzeit:

$$\begin{eqnarray*} \dot\Sigma &=& 2r\dot r-2a^2\sin\theta\cos\theta \dot\theta\\ \dot\Delta &=& 2r\dot r-2M\dot r \end{eqnarray*}$$

Wir können nun mit den Ableitungen der Lagrange-Funktion beginnen:

$$\frac{\partial L}{\partial t} = 0$$ (104)

$$\frac{\partial L}{\partial r} = -\frac{\Sigma(2r-2M)-(\Delta-a^2\sin^2\theta)\cdot2r}{\Sigma^2}\dot t^2$$

$$- \frac{\Sigma\cdot2a\sin^2\theta(2r-2r+2M) -2a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)\cdot2r}{\Sigma^2}\dot t\dot\phi$$

$$+ \frac{\Sigma\left(2(r^2+a^2)\cdot2r-(2r-2M)a^2\sin^2\theta\right)} {\Sigma^2}\sin^2\theta \dot\phi^2$$

$$- \frac{\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)\cdot 2r}{\Sigma^2} \sin^2\theta \dot\phi^2$$

$$+ \frac{\Delta\cdot2r-\Sigma(2r-2M)}{\Delta^2}\dot r^2+2r\dot\theta^2$$ (105)

$$\frac{\partial L}{\partial\phi} = 0$$ (106)

$$\frac{\partial L}{\partial\theta} = -\frac{\Sigma(-a^2)\cdot2\sin\theta\cos\theta -(\Delta-a^2\sin^2\theta)(-2a^2\sin\theta\cos\theta)}{\Sigma^2}\dot t^2$$

$$- \frac{\Sigma\cdot2a\cdot2\sin\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma^2} \dot t\dot\phi$$

$$+ \frac{2a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)(-2a^2\sin\theta\cos\theta)}{\Sigma^2} \dot t\dot\phi$$

$$+ \frac{(r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta}{\Sigma} \cdot2\sin\theta\cos\theta \dot\phi^2$$

$$+ \frac{\Sigma(-\Delta a^2\cdot2\sin\theta\cos\theta)}{\Sigma^2} \sin^2\theta \dot\phi^2$$

$$- \frac{\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right) \left(-2a^2\sin\theta\cos\theta\right)}{\Sigma^2}\sin^2\theta \dot\phi^2$$

$$+ \frac{-2a^2\sin\theta\cos\theta}{\Delta}\dot r^2 +(-2a^2\sin\theta\cos\theta)\dot\theta^2$$ (107)

Wir sind noch lange nicht fertig:

$$\frac{\partial L}{\partial\dot t} = -\frac{\Delta-a^2\sin^2\theta}{\Sigma}\cdot2\dot t -\frac{2a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma}\dot\phi$$ (108)

$$\frac{\partial L}{\partial\dot r} = \frac{\Sigma}{\Delta}\cdot2\dot r$$ (109)

$$\frac{\partial L}{\partial\dot\phi} = -\frac{2a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma}\dot t +\frac{(r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta}{\Sigma}\sin^2\theta\cdot 2\dot\phi$$ (110)

$$\frac{\partial L}{\partial\dot\theta} = \Sigma\cdot2\dot\theta$$ (111)

Und weiter geht's (die Eigenzeit wird nun mit $s$ bezeichnet):

$$\frac{d}{ds}\frac{\partial L}{\partial\dot t} = -\frac{\Delta-a^2\sin^2\theta}{\Sigma}\cdot2\ddot t$$

$$- \frac{\Sigma(2r\dot r-2M\dot r-a^2\cdot2\sin\theta\cos\theta \dot\theta)} {\Sigma^2}\cdot2\dot t$$

$$+ \frac{(\Delta-a^2\sin^2\theta) (2r\dot r-2a^2\sin\theta\cos\theta \dot\theta)}{\Sigma^2}\cdot2\dot t$$

$$- \frac{2a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma}\ddot\phi$$

$$- \frac{\Sigma\left(2a\sin^2\theta(2r\dot r-2r\dot r+2M\dot r) +... ...dot2\sin\theta\cos\theta \dot\theta(r^2+a^2-\Delta)\right)}{\Sigma^2} \dot\phi$$

$$+ \frac{2a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta) (2r\dot r-2a^2\sin\theta\cos\theta \dot\theta)}{\Sigma^2}\dot\phi$$ (112)

$$\frac{d}{ds}\frac{\partial L}{\partial\dot r} = \frac{\Sigma}{\Delta}\cdot2\ddot r +\frac{\Delta(2r\dot r-2a^2\sin\theta\cos\theta \dot\theta) -\Sigma(2r\dot r-2M\dot r)}{\Delta^2}\cdot2\dot r$$ (113)

$$\frac{d}{ds}\frac{\partial L}{\partial\dot\phi} = -\frac{2a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma}\ddot t$$

$$- \frac{\Sigma\left(2a\sin^2\theta(2r\dot r-2r\dot r+2M\dot r) +2a\cdot2\sin\theta\cos\theta \dot\theta(r^2+a^2-\Delta)\right)}{\Sigma^2} \dot t$$

$$+ \frac{2a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta) (2r\dot r-2a^2\sin\theta\cos\theta \dot\theta)}{\Sigma^2}\dot t$$

$$+ \frac{(r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta}{\Sigma} (\sin^2\theta\cdot2\ddot\phi+2\sin\theta\cos\theta \dot\theta\cdot2\dot\phi)$$

$$+ \frac{\Sigma\cdot2(r^2+a^2)\cdot2r\dot r}{\Sigma^2} \sin^2\theta\cdot2\dot\phi$$

$$- \frac{\Sigma\left(\Delta a^2\cdot2\sin\theta\cos\theta \dot\t... ...(2r\dot r-2M\dot r)a^2\sin^2\theta\right)}{\Sigma^2} \sin^2\theta\cdot2\dot\phi$$

$$- \frac{\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right) \left(2r... ...^2\sin\theta\cos\theta \dot\theta\right)}{\Sigma^2} \sin^2\theta\cdot2\dot\phi$$ (114)

$$\frac{d}{ds}\frac{\partial L}{\partial\dot\theta} = \Sigma\cdot2\ddot\theta+(2r\dot r-2a^2\sin\theta\cos\theta \dot\theta) \cdot2\dot\theta$$ (115)

Mit dem Ableiten sind wir jetzt fertig. Nun geht es ans Aufstellen der Euler-Lagrange-Gleichungen unter Verwendung der Gleichungen (C.2)-(C.5) und (C.10)-(C.13). Hier zunächst noch einmal die Euler-Lagrange-Gleichung mit $s$ als ,,Zeit``, um Verwechslungen mit der Zeitkoordinate $t$ zu vermeiden (siehe auch Abschnitt B):

$$\frac{d}{ds}\frac{\partial L}{\partial\dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0.$$ (116)

Für $q$ müssen wir nun unsere vier Koordinaten $t$, $r$, $\phi$ und $\theta$ einsetzen. Mit trivialen Vereinfachungen und Umstellungen erhalten wir:

$$-\frac{\Delta-a^2\sin^2\theta}{\Sigma}\cdot2\ddot t -\frac{r\dot r-M\dot r-a^2\sin\theta\cos\theta \dot\theta}{\Sigma}\cdot4\dot t$$

$$+ \frac{(\Delta-a^2\sin^2\theta)(r\dot r-a^2\sin\theta\cos\theta \dot\theta)} {\Sigma^2}\cdot4\dot t$$

$$- \frac{2a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma}\ddot\phi$$

$$- \frac{\sin\theta M\dot r+\cos\theta \dot\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma} \cdot4a\sin\theta \dot\phi$$

$$+ \frac{4a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta) (r\dot r-a^2\sin\theta\cos\theta \dot\theta)}{\Sigma^2}\dot\phi = 0$$ (117)

$$\frac{\Sigma}{\Delta}\cdot2\ddot r +\frac{\Delta(r\dot r-a^2\sin\theta\cos\theta \dot\theta) -\Sigma\dot r(r-M)}{\Delta^2}\cdot4\dot r$$

$$+ \frac{\Sigma(r-M)-(\Delta-a^2\sin^2\theta)r}{\Sigma^2}\cdot2\dot t^2$$

$$+ \frac{\Sigma\cdot2M-(r^2+a^2-\Delta)\cdot2r}{\Sigma^2} \cdot2a\sin^2\theta \dot t\dot\phi$$

$$- \frac{(r^2+a^2)\cdot2r-(r-M)a^2\sin^2\theta}{\Sigma} \cdot2\sin^2\theta \dot\phi^2$$

$$+ \frac{\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)\cdot2r}{\Sigma^2} \sin^2\theta \dot\phi^2$$

$$- \frac{\Delta r-\Sigma(r-M)}{\Delta^2}\cdot2\dot r^2-2r\dot\theta^2 = 0$$ (118)

$$-\frac{2a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma}\ddot t$$

$$- \frac{\sin\theta M\dot r+\cos\theta \dot\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma} \cdot4a\sin\theta \dot t$$

$$+ \frac{4a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta) (r\dot r-a^2\sin\theta\cos\theta \dot\theta)}{\Sigma^2}\dot t$$

$$+ \frac{(r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta}{\Sigma}\cdot2\sin\theta (\sin\theta \ddot\phi+\cos\theta \dot\theta\cdot2\dot\phi)$$

$$+ \frac{r^2+a^2}{\Sigma}\cdot8r\sin^2\theta \dot r\dot\phi$$

$$- \frac{\Delta\cos\theta \dot\theta+\dot r(r-M)\sin\theta}{\Sigma} \cdot4a^2\sin^3\theta \dot\phi$$

$$- \frac{\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right) \left(r\... ...^2\sin\theta\cos\theta \dot\theta\right)}{\Sigma^2} \sin^2\theta\cdot4\dot\phi = 0$$ (119)

$$\Sigma\cdot2\ddot\theta+(r\dot r-a^2\sin\theta\cos\theta \dot\theta) \cdot4\dot\theta$$

$$- \frac{\Sigma-(\Delta-a^2\sin^2\theta)}{\Sigma^2} \cdot2a^2\sin\theta\cos\theta \dot t^2$$

$$+ \frac{4a\sin\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma}\dot t\dot\phi +\frac{4a^3\sin^3\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma^2}\dot t\dot\phi$$

$$- \frac{(r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta}{\Sigma} \cdot2\sin\t... ...s\theta \dot\phi^2+\frac{2\Delta a^2\sin^3\theta\cos\theta} {\Sigma}\dot\phi^2$$

$$- \frac{\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right) \left(2a^2\sin^3\theta\cos\theta\right)}{\Sigma^2}\dot\phi^2$$

$$+ \frac{2a^2\sin\theta\cos\theta}{\Delta}\dot r^2 +2a^2\sin\theta\cos\theta \dot\theta^2 = 0$$ (120)

Um nun die Christoffel-Symbole zu erhalten, müssen wir einen Koeffizientenvergleich der Gleichungen (C.15)-(C.18) mit der Gleichung (3.28) durchführen. Hierzu legen wir zunächst eine Tabelle der entsprechenden Koeffizienten an. Führen wir dies zunächst für Gleichung (C.15) durch:

$$\hbox{Variable} \hbox{Koeffizient}$$

$$\ddot t : -\frac{2(\Delta-a^2\sin^2\theta)}{\Sigma}$$ (121)

$$\ddot\phi : -\frac{2a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma}$$ (122)

$$\dot t\dot r : -\frac{4(r-M)}{\Sigma}+\frac{4r(\Delta-a^2\sin^2\theta)} {\Sigma^2}$$ (123)

$$\dot t\dot\theta : \frac{4a^2\sin\theta\cos\theta}{\Sigma} -\frac{4a^2\sin\theta\cos\theta(\Delta-a^2\sin^2\theta)}{\Sigma^2}$$ (124)

$$\dot r\dot\phi : -\frac{4a\sin^2\theta M}{\Sigma} +\frac{4ar\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma^2}$$ (125)

$$\dot\phi\dot\theta : -\frac{4a\sin\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma} -\frac{4a^3\sin^3\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma^2}$$ (126)

Wie wir sehen, reichen diese Koeffizienten für den angestrebten Koeffizientenvergleich noch nicht aus, da sowohl $\ddot t$ als auch $\ddot\phi$ noch in Gleichung (C.15) vorkommen. Nehmen wir also nun Gleichung (C.17), in der auch $\ddot t$ und $\ddot\phi$ vorkommen, und extrahieren auch hier die Koeffizienten:

$$\hbox{Variable} \hbox{Koeffizient}$$

$$\ddot t : -\frac{2a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma}$$ (127)

$$\ddot\phi : \frac{2\sin^2\theta\left((r^2+a^2)^2 -\Delta a^2\sin^2\theta\right)}{\Sigma}$$ (128)

$$\dot t\dot r : -\frac{4a\sin^2\theta M}{\Sigma} +\frac{4ar\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma^2}$$ (129)

$$\dot t\dot\theta : -\frac{4a\sin\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma} -\frac{4a^3\sin^3\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma^2}$$ (130)

$$\dot r\dot\phi : \frac{8r\sin^2\theta(r^2+a^2)}{\Sigma} -\frac{4a^2\sin^4\theta(r-M)}{\Sigma}$$

$$- \frac{4r\sin^2\theta\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)} {\Sigma^2}$$ (131)

$$\dot\phi\dot\theta : \frac{4\sin\theta\cos\theta \left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}{\Sigma} -\frac{4a^2\Delta\sin^3\theta\cos\theta}{\Sigma}$$

$$+\frac{4a^2\sin^3\theta\cos\theta \left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}{\Sigma^2}$$ (132)

Damit wir nun eine Gleichung in der Form von Gleichung (3.28) erhalten, müssen wir die Koeffizienten (C.25)-(C.30) zunächst mit

$$\frac{\Sigma}{2\sin^2\theta\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)} \frac{-2a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma}$$

multiplizieren. Vereinfachen wir diesen Faktor zunächst noch zu

$$-\frac{a(r^2+a^2-\Delta)}{(r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta},$$

so erhalten wir für die Koeffizienten der geänderten Form von Gleichung (C.17):

$$\hbox{Variable} \hbox{Koeffizient}$$

$$\ddot t : \frac{2a^2\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)^2} {\Sigma\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}$$ (133)

$$\ddot\phi : -\frac{2a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma}$$ (134)

$$\dot t\dot r : \frac{4a^2\sin^2\theta M(r^2+a^2-\Delta)} {\Sigma\left((r^2+a^2)... ...ta(r^2+a^2-\Delta)^2} {\Sigma^2\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}$$ (135)

$$\dot t\dot\theta : \frac{4a^2\sin\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)^2} {\Sigma\left((r... ...ta(r^2+a^2-\Delta)^2} {\Sigma^2\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}$$ (136)

$$\dot r\dot\phi : -\frac{8ar\sin^2\theta(r^2+a^2)(r^2+a^2-\Delta)} {\Sigma\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}$$

$$+ \frac{4a^3\sin^4\theta(r-M)(r^2+a^2-\Delta)} {\Sigma\left((r^2... ...elta a^2\sin^2\theta\right)} +\frac{4ar\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)} {\Sigma^2}$$ (137)

$$\dot\phi\dot\theta : -\frac{4a\sin\theta\cos\theta (r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma} +\frac{4a... ...\theta(r^2+a^2-\Delta)} {\Sigma\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}$$

$$- \frac{4a^3\sin^3\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma^2}$$ (138)

In zwei Schritten haben wir unsere ersten Christoffel-Symbole! Erst subtrahieren wir die soeben erhaltenen Koeffizienten von den Koeffizienten (C.19)-(C.24) und erhalten die Koeffizienten in der folgenden Tabelle. Man beachte hierbei, dass der Koeffizient von $\ddot\phi$ wegfällt:

$$\hbox{Variable} \hbox{Koeffizient}$$

$$\ddot t : -\frac{2(\Delta-a^2\sin^2\theta)}{\Sigma} -\frac{2a^2\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)^2} {\Sigma\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}$$ (139)

$$\dot t\dot r : -\frac{4(r-M)}{\Sigma}+\frac{4r(\Delta-a^2\sin^2\theta)} {\Sigma^2}$$

$$- \frac{4a^2\sin^2\theta M(r^2+a^2-\Delta)} {\Sigma\left((r^2+a... ...ta(r^2+a^2-\Delta)^2} {\Sigma^2\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}$$ (140)

$$\dot t\dot\theta : \frac{4a^2\sin\theta\cos\theta}{\Sigma} -\frac{4a^2\sin\theta\cos\theta(\Delta-a^2\sin^2\theta)}{\Sigma^2}$$

$$- \frac{4a^2\sin\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)^2} {\Sigma\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}$$

$$- \frac{4a^4\sin^3\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)^2} {\Sigma^2\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}$$ (141)

$$\dot r\dot\phi : -\frac{4a\sin^2\theta M}{\Sigma} +\frac{8ar\sin^2\theta(r^2+a^2)(r^2+a^2-\Delta)} {\Sigma\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}$$

$$- \frac{4a^3\sin^4\theta(r-M)(r^2+a^2-\Delta)} {\Sigma\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}$$ (142)

$$\dot\phi\dot\theta : -\frac{4a^3\Delta\sin^3\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)} {\Sigma\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}$$ (143)

Multiplizieren wir diese Koeffizienten mit

$$\left( -\frac{2(\Delta-a^2\sin^2\theta)}{\Sigma} -\frac{2a^2... ...\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)} \right)^{-1},$$

was mit Hilfe des neuen Symbols

$$N:=\left(\Delta-a^2\sin^2\theta\right) \left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right) +a^2\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)^2$$ (144)

zu

$$\frac{-\Sigma\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)} {2N}$$

,,vereinfacht`` werden kann, so erhalten wir, wenn wir berücksichtigen, dass ein und derselbe Koeffizient durch zwei Christoffel-Symbole mit vertauschten Indizes entsteht, folgende Christoffel-Symbole, da wie in Gleichung (3.28) nun eine 1 als Koeffizient vor $\ddot t$ steht:

$$\Gamma^t{}_{tt} = 0$$ (145)

$$\Gamma^t{}_{tr} = \Gamma^t{}_{rt} = \frac{\left(r-M\right) \left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}{N}$$

$$- \frac{r\left(\Delta-a^2\sin^2\theta\right) \left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}{\Sigma N}$$

$$+ \frac{a^2\sin^2\theta M(r^2+a^2-\Delta)}{N} -\frac{a^2r\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)^2}{\Sigma N}$$ (146)

$$\Gamma^t{}_{t\phi} = \Gamma^t{}_{\phi t} = 0$$ (147)

$$\Gamma^t{}_{t\theta} = \Gamma^t{}_{\theta t} = -\frac{a^2\sin\theta\cos\theta\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)} {N}$$

$$+ \frac{a^2\sin\theta\cos\theta(\Delta-a^2\sin^2\theta) \left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}{\Sigma N}$$

$$+ \frac{a^2\sin\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)^2}{N}$$

$$+ \frac{a^4\sin^3\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)^2}{\Sigma N}$$ (148)

$$\Gamma^t{}_{rr} = 0$$ (149)

$$\Gamma^t{}_{r\phi} = \Gamma^t{}_{\phi r} = \frac{a\sin^2\theta M\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}{N}$$

$$- \frac{2ar\sin^2\theta(r^2+a^2)(r^2+a^2-\Delta)}{N}$$

$$+ \frac{a^3\sin^4\theta(r-M)(r^2+a^2-\Delta)}{N}$$ (150)

$$\Gamma^t{}_{r\theta} = \Gamma^t{}_{\theta r} = 0$$ (151)

$$\Gamma^t{}_{\phi\phi} = 0$$ (152)

$$\Gamma^t{}_{\phi\theta} = \Gamma^t{}_{\theta\phi} = +\frac{a^3\Delta\sin^3\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)}{N}$$ (153)

Nun die gleiche Prozedur noch einmal für $\phi$. Multiplizieren wir also die Koeffizienten (C.19)-(C.24) mit

$$\frac{a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Delta-a^2\sin^2\theta}.$$

Wir erhalten:

$$\hbox{Variable} \hbox{Koeffizient}$$

$$\ddot t : -\frac{2a\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma}$$ (154)

$$\ddot\phi : -\frac{2a^2\sin^4\theta(r^2+a^2-\Delta)^2} {\Sigma(\Delta-a^2\sin^2\theta)}$$ (155)

$$\dot t\dot r : -\frac{4a\sin^2\theta(r-M)(r^2+a^2-\Delta)} {\Sigma(\Delta-a^2\sin^2\theta)} +\frac{4ar\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma^2}$$ (156)

$$\dot t\dot\theta : \frac{4a^3\sin^3\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)} {\Sigma(\Delta-a^2\sin^2\theta)} -\frac{4a^3\sin^3\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma^2}$$ (157)

$$\dot r\dot\phi : -\frac{4a^2\sin^4\theta M(r^2+a^2-\Delta)} {\Sigma(\Delta-a^2\si... ... +\frac{4a^2r\sin^4\theta(r^2+a^2-\Delta)^2} {\Sigma^2(\Delta-a^2\sin^2\theta)}$$ (158)

$$\dot\phi\dot\theta : -\frac{4a^2\sin^3\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)^2} {\Sigma(\Delta-a^2\sin^2\theta)}$$

$$-\frac{4a^4\sin^5\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)^2} {\Sigma^2(\Delta-a^2\sin^2\theta)}$$ (159)

Dies müssen wir nun von den Koeffizienten (C.25)-(C.30) subtrahieren:

$$\hbox{Variable} \hbox{Koeffizient}$$

$$\ddot\phi : \frac{2\sin^2\theta\left((r^2+a^2)^2 -\Delta a^2\sin^2\theta\righ... ...ma} +\frac{2a^2\sin^4\theta(r^2+a^2-\Delta)^2} {\Sigma(\Delta-a^2\sin^2\theta)}$$ (160)

$$\dot t\dot r : -\frac{4a\sin^2\theta M}{\Sigma} +\frac{4a\sin^2\theta(r-M)(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma(\Delta-a^2\sin^2\theta)}$$ (161)

$$\dot t\dot\theta : -\frac{4a\sin\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma} -\frac{4a^3\sin^3\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)} {\Sigma(\Delta-a^2\sin^2\theta)}$$ (162)

$$\dot r\dot\phi : \frac{8r\sin^2\theta(r^2+a^2)}{\Sigma} -\frac{4a^2\sin^4\theta(r-M)}{\Sigma}$$

$$- \frac{4r\sin^2\theta\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)} {\Sigma^2}$$

$$+ \frac{4a^2\sin^4\theta M(r^2+a^2-\Delta)} {\Sigma(\Delta-a^2\... ...} -\frac{4a^2r\sin^4\theta(r^2+a^2-\Delta)^2}{\Sigma^2(\Delta-a^2\sin^2\theta)}$$ (163)

$$\dot\phi\dot\theta : \frac{4\sin\theta\cos\theta \left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}{\Sigma} -\frac{4a^2\Delta\sin^3\theta\cos\theta}{\Sigma}$$

$$+ \frac{4a^2\sin^3\theta\cos\theta \left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)}{\Sigma^2}$$

$$+ \frac{4a^2\sin^3\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)^2} {\Sigma(\Delta-a^2\sin^2\theta)}$$

$$+ \frac{4a^4\sin^5\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)^2} {\Sigma^2(\Delta-a^2\sin^2\theta)}$$ (164)

Den zweiten Satz von Christoffel-Symbolen erhalten wir daraus durch Multiplikation mit

$$\left( \frac{2\sin^2\theta\left((r^2+a^2)^2 -\Delta a^2\sin^... ...+a^2-\Delta)^2} {\Sigma(\Delta-a^2\sin^2\theta)} \right)^{-1}.$$

Unter erneuter Verwendung des Symbols $N$ aus (C.42) vereinfacht sich dies zu

$$\frac{\Sigma(\Delta-a^2\sin^2\theta)}{2\sin^2\theta N}.$$

Wir erhalten die folgenden Christoffel-Symbole:

$$\Gamma^\phi{}_{tt} = 0$$ (165)

$$\Gamma^\phi{}_{tr} = \Gamma^\phi{}_{rt} = -\frac{aM(\Delta-a^2\sin^2\theta)}{N}+\frac{a(r-M)(r^2+a^2-\Delta)}{N}$$ (166)

$$\Gamma^\phi{}_{t\phi} = \Gamma^\phi{}_{\phi t} = 0$$ (167)

$$\Gamma^\phi{}_{t\theta} = \Gamma^\phi{}_{\theta t} = -\frac{a\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)(\Delta-a^2\sin^2\theta)}{\sin\theta N}$$

$$- \frac{a^3\sin\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)}{N}$$ (168)

$$\Gamma^\phi{}_{rr} = 0$$ (169)

$$\Gamma^\phi{}_{r\phi} = \Gamma^\phi{}_{\phi r} = \frac{2r(r^2+a^2)(\Delta-a^2\sin^2\theta)}{N}$$

$$- \frac{a^2\sin^2\theta(r-M)(\Delta-a^2\sin^2\theta)}{N}$$

$$- \frac{r\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right) (\Delta-a^2\sin^2\theta)}{\Sigma N}$$

$$+ \frac{a^2\sin^2\theta M(r^2+a^2-\Delta)}{N} -\frac{a^2r\sin^2\theta(r^2+a^2-\Delta)^2}{\Sigma N}$$ (170)

$$\Gamma^\phi{}_{r\theta} = \Gamma^\phi{}_{\theta r} = 0$$ (171)

$$\Gamma^\phi{}_{\phi\phi} = 0$$ (172)

$$\Gamma^\phi{}_{\phi\theta} = \Gamma^\phi{}_{\theta\phi} = \frac{\cos\theta\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right) (\Delta-a^2\sin^2\theta)}{\sin\theta N}$$

$$- \frac{a^2\Delta\sin\theta\cos\theta(\Delta-a^2\sin^2\theta)}{N}$$

$$+ \frac{a^2\sin\theta\cos\theta \left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)(\Delta-a^2\sin^2\theta)} {\Sigma N}$$

$$+ \frac{a^2\sin\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)^2}{N}$$

$$+ \frac{a^4\sin^3\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)^2}{\Sigma N}$$ (173)

$$\Gamma^\phi{}_{\theta\theta} = 0$$ (174)

Der Rest ist nun ein Kinderspiel. Extrahieren wir zunächst die Koeffizienten aus (C.16):

$$\hbox{Variable} \hbox{Koeffizient}$$

$$\ddot r : \frac{2\Sigma}{\Delta}$$ (175)

$$\dot t^2 : \frac{\Sigma(r-M)-(\Delta-a^2\sin^2\theta)r}{\Sigma^2}\cdot2$$ (176)

$$\dot t\dot\phi : \frac{2\Sigma M-(r^2+a^2-\Delta)\cdot2r}{\Sigma^2} \cdot2a\sin^2\theta$$ (177)

$$\dot r^2 : \frac{\Delta r-\Sigma(r-M)}{\Delta^2}\cdot2$$ (178)

$$\dot r\dot\theta : -\frac{4a^2\sin\theta\cos\theta}{\Delta}$$ (179)

$$\dot\phi^2 : -\frac{(r^2+a^2)\cdot2r-(r-M)a^2\sin^2\theta}{\Sigma} \cdot2\sin^2\theta$$

$$+ \frac{\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)\cdot2r\sin^2\theta} {\Sigma^2}$$ (180)

$$\dot\theta^2 : -2r$$ (181)

Nach Multiplikation mit

$$\frac{\Delta}{2\Sigma}$$

erhalten wir die folgenden weiteren Christoffel-Symbole:

$$\Gamma^r{}_{tt} = \frac{\Sigma(r-M)-r(\Delta-a^2\sin^2\theta)}{\Sigma^3} \Delta$$ (182)

$$\Gamma^r{}_{tr} = \Gamma^r{}_{rt} = 0$$ (183)

$$\Gamma^r{}_{t\phi} = \Gamma^r{}_{\phi t} = \frac{\Sigma M-r(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma^3}\cdot\Delta a\sin^2\theta$$ (184)

$$\Gamma^r{}_{t\theta} = \Gamma^r{}_{\theta t} = 0$$ (185)

$$\Gamma^r{}_{rr} = \frac{\Delta r-\Sigma(r-M)}{\Delta\Sigma}$$ (186)

$$\Gamma^r{}_{r\phi} = \Gamma^r{}_{\phi r} = 0$$ (187)

$$\Gamma^r{}_{r\theta} = \Gamma^r{}_{\theta r} = -\frac{a^2\sin\theta\cos\theta}{\Sigma}$$ (188)

$$\Gamma^r{}_{\phi\phi} = -\frac{(r^2+a^2)\cdot2r-(r-M)a^2\sin^2\theta}{\Sigma^2}\Delta\sin^2\theta$$

$$+ \frac{\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right)\Delta r\sin^2\theta} {\Sigma^3}$$ (189)

$$\Gamma^r{}_{\phi\theta} = \Gamma^r{}_{\theta\phi} = 0$$ (190)

$$\Gamma^r{}_{\theta\theta} = -\frac{\Delta r}{\Sigma}$$ (191)

Wir haben nun den Status eines ,,Großmeisters der Christoffel-Symbole`` erreicht und können deshalb aus Gleichung (C.18) direkt die entsprechenden Christoffel-Symbole ablesen:

$$\Gamma^\theta{}_{tt} = -\frac{\Sigma-\Delta+a^2\sin^2\theta} {\Sigma^3}a^2\sin\theta\cos\theta$$ (192)

$$\Gamma^\theta{}_{tr} = \Gamma^\theta{}_{rt} = 0$$ (193)

$$\Gamma^\theta{}_{t\phi} = \Gamma^\theta{}_{\phi t} = \frac{\sin\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma^2} +\frac{a^3\sin^3\theta\cos\theta(r^2+a^2-\Delta)}{\Sigma^3}$$ (194)

$$\Gamma^\theta{}_{t\theta} = \Gamma^\theta{}_{\theta t} = 0$$ (195)

$$\Gamma^\theta{}_{rr} = \frac{a^2\sin\theta\cos\theta}{\Delta\Sigma}$$ (196)

$$\Gamma^\theta{}_{r\phi} = \Gamma^\theta{}_{\phi r} = 0$$ (197)

$$\Gamma^\theta{}_{r\theta} = \Gamma^\theta{}_{\theta r} = \frac{r}{\Sigma}$$ (198)

$$\Gamma^\theta{}_{\phi\phi} = -\frac{(r^2+a^2)^2-2\Delta a^2\sin^2\theta} {\Sigma^2}\sin\theta\cos\theta$$

$$- \frac{\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta\right) a^2\sin^3\theta\cos\theta}{\Sigma^3}$$ (199)

$$\Gamma^\theta{}_{\phi\theta} = \Gamma^\theta{}_{\theta\phi} = 0$$ (200)

$$\Gamma^\theta{}_{\theta\theta} = -\frac{a^2\sin\theta\cos\theta}{\Sigma}$$ (201)

Die erhaltenen Christoffel-Symbole wurden in der Klasse kerr4 implementiert (siehe Abschnitt D.16). Die Klasse kerr3 enthält eine vereinfachte Version, die nur die Äquatorialebene ( $\theta=90^\circ$) repräsentiert und somit graphisch zweidimensional dargestellt werden kann (siehe Abschnitt D.15).