Grundlegende Definitionen und Beispiele

Definition 1.1   Es seien $G$ eine nichtleere Menge, $\cdot: G \times G \to G$ eine Abbildung und $e \in G$ ein Element. Man nennt $(G,\cdot,e)$ eine Gruppe, wenn gilt

• $\cdot$ ist assoziativ, $\forall a,b,c \in G: (a b) c = a (b c)$
• $e$ ist ein neutrales Element, $\forall a \in G: e a = a e = a$
• alle Elemente haben ein Inverses, $\forall a \in G \exists a^{-1} \in G: a a^{-1} = a^{-1} a = e$

$G$ ist die Trägermenge der Gruppe, $\cdot$ die Gruppenoperation. Ist die Gruppenoperation kommutativ, so spricht man von einer kommutativen oder Abelschen Gruppe.

Ist aus dem Zusammenhang klar, was die Gruppenoperation und das neutrale Element sind, so erspart man sich auch das Anschreiben von $(G,\cdot,e)$ und bezeichnet oft kurz $G$ selbst als Gruppe. Auch werden wir für verschiedene Gruppen $(G,\cdot,e_G)$ und $(H,\ast,e_H)$ die Gruppenoperationen und neutralen Elemente nicht immer unterschiedlich bezeichnen, sondern zur Vereinfachung manchmal bloß $\cdot$ und $e$ schreiben.

Beispiele für Gruppen sind die ganzen Zahlen mit der Addition, $(\mathbb{Z},+,0)$, oder etwa die rationalen Zahlen ohne Null mit der Multiplikation, $(\mathbb{Q}\setminus \{ 0 \},\cdot,1)$.

Weiter wird für jede nichtleere Menge $M$ die Menge $S(M) := \{f: M \to M\vert f \;\textrm{bijektiv}\}$ aller bijektiven Selbstabbildungen mit der Abbildungskomposition zu einer Gruppe $(S(M), \circ, \textrm{id}_M)$. $S(M)$ heißt die symmetrische Gruppe auf $M$, ihre Elemente heißen Permutationen von $M$.

Ist $M = \{1,2,...,n\}$, so schreibt man auch $S(n)$ oder $S_n$ statt $S(M)$. Für $M=\{1,2\}$ besteht $S(M)$ aus den beiden Permutationen $(1) := (1 \mapsto 1, 2 \mapsto 2)$ und $(12) := (1 \mapsto 2, 2 \mapsto 1)$.

Für einen Vektorraum $V$ wird die Menge $\textrm{\upshape GL}(V) := \{f: V \to V\vert f \; \textrm{linear, bijektiv}\}$ aller bijektiven linearen Abbildungen von V mit der Abbildungskomposition zu einer Gruppe $(\textrm{GL}(V),\circ,\textrm{id}_V)$, der allgemeinen linearen Gruppe von $V$.

Definition 1.2   Es seien $(G,\cdot,e_G)$ und $(H,\ast,e_H)$ Gruppen und $H \subseteq G$ eine Teilmenge von $G$. Man nennt $(H,\ast,e_H)$ eine Untergruppe von $G$, falls die Gruppenoperationen auf $H$ übereinstimmen, $\cdot\vert _{H \times H} = \ast$, und $e_G \in H$. Geschrieben wird dafür kurz $H \le G$.

Stimmen die Gruppenoperationen auf $H$ überein, so sind notwendigerweise auch die neutralen Elemente gleich. Es gilt nämlich $e_H = e_H \cdot e_G = e_H \ast e_G = e_G$.

Eine nichtleere Teilmenge $H \subseteq G$ ist übrigens mit der eingeschränkten Gruppenoperation genau dann eine Untergruppe, wenn $\forall a,b \in H: a b^{-1} \in H$ (Untergruppenkriterium).

Jede Gruppe $(G,\cdot,e)$ hat die trivialen Untergruppen $\{e\}$ und $G$. Weiter liefern beliebige Durchschnitte von Familien von Untergruppen einer Gruppe $G$ wieder Untergruppen von $G$.

Für zwei Teilmengen $A,B \subset G$ schreibt man $AB := \{a b \vert a \in A, b\in B\}$, insbesondere für $a,b \in G$ auch $Ab := \{a b \vert a \in A\}$ und $aB := \{a b \vert b \in B\}$.

Sind $H \leq G$ eine Untergruppe und $a \in G$, so heißt $aH$ eine Linksnebenklasse von $G$ nach $H$ und $Ha$ eine Rechtsnebenklasse von $G$ nach $H$. In diesem Fall ist $\{aH \vert a \in G\}$ eine Klasseneinteilung (eine Partition) von $G$, genannt Linksnebenklassenzerlegung von $G$ nach $H$. Analog ist $\{Ha \vert a \in G\}$ die Rechtsnebenklassenzerlegung von $G$ nach $H$.

Als Beispiel betrachten wir $(G,\cdot,e) := (\mathbb{Z},+,0)$, mit $H := 2 \mathbb{Z}= \{2 z \vert z \in \mathbb{Z}\}$ als Untergruppe. Ist $a \in \mathbb{Z}$ gerade, so besteht $aH = a + 2 \mathbb{Z}= \{a + 2z \vert z \in \mathbb{Z}\}$ aus allen geraden ganzen Zahlen. Ist $a \in \mathbb{Z}$ ungerade, so ist $aH = a + 2 \mathbb{Z}$ die Menge aller ungeraden ganzen Zahlen. In beiden Fällen gilt $aH = Ha$, weil die Addition ganzer Zahlen kommutativ ist. Die Nebenklassenzerlegungen stimmen somit überein und haben die beiden Mengen der geraden und der ungeraden ganzen Zahlen als Elemente. Das sind genau die Restklassen ganzer Zahlen modulo 2.

Für allgemeines $n \in \mathbb{N}$ bildet man analog $H := n \mathbb{Z}$ und die Nebenklassenzerlegungen. Diese enthalten genau die Restklassen ganzer Zahlen modulo n. Üblich sind Bezeichnungen mit Überstreichen für die Restklassen: $\bar{a} := aH = a + n \mathbb{Z}$ für $a \in \mathbb{Z}$.

Für $H \leq G$ ist die Anzahl verschiedener Linksnebenklassen gleich der Anzahl verschiedener Rechtsnebenklassen und heißt der Index von $H$ in $G$, in Zeichen $[G : H]$.

Leicht zu zeigen ist nun der folgende Satz von Lagrange:

Satz 1.1   Es seien $(G,\cdot,e)$ eine endliche Gruppe und $H \leq G$ eine Untergruppe. Dann gilt: $[G : H] \cdot \vert H\vert = \vert G\vert$.

Der Satz von Lagrange gilt auch für unendliche Gruppen.