Abbildungen zwischen Gruppen

Für einen Vektorraum $V$ ist $\textrm{\upshape GL}(V)$ eine Untergruppe von $S(V)$. Untergruppen von $\textrm{\upshape GL}(V)$ sind besonders wichtig. Lineare Abbildungen endlichdimensionaler Vektorräume lassen sich ja durch Matrizen koordinatisieren. Man kann nun versuchen, Elemente einer Gruppe durch solche Matrizen darzustellen (genauer: durch eine Abbildung zuzuordnen), und die Gruppenoperation durch die Matrizenmultiplikation zu beschreiben. Das führt dann auf die sogenannte Darstellungstheorie, in diesem Fall auf eine Darstellung einer Gruppe durch eine Matrizengruppe.

Etliche Untergruppen der $\textrm{\upshape GL}(\mathbb{R}^n)$ oder $\textrm{\upshape GL}(\mathbb{C}^n)$ haben einen eigenen Namen (Drehgruppe, Galilei-Gruppe, Lorentz-Gruppe, ...) und spielen in der Physik eine wesentliche Rolle. Sie können auch abstrakt formuliert und mit einer Darstellung veranschaulicht werden. Wir werden sie später genauer studieren.

Die Forderung, daß die Gruppenoperationen zweier Gruppen sich mit einer Abbildung vertragen, führt auf den folgenden Begriff:

Definition 1.3   Es seien $(G_1,\cdot,e_1)$ und $(G_2,\cdot,e_2)$ Gruppen und $f: G_1 \to G_2$ eine Abbildung. Man nennt $f$ einen Gruppenhomomorphismus, falls $f$ mit der Gruppenoperation verträglich ist, $\forall a,b \in G_1: f(a b) = f(a) f(b)$, und die neutralen Elemente aufeinander abbildet, $f(e_1) = e_2$. Die Menge aller solchen Gruppenhomomorphismen bezeichnen wir mit $\textrm{\upshape Hom}(G_1,G_2)$.

Die Komposition zweier Gruppenhomomorphismen liefert wieder einen Gruppenhomomorphismus. Das Bild eines Gruppenhomomorphismus ist eine Untergruppe.

Ein injektiver Gruppenhomomorphismus heißt ein Gruppen-Monomorphismus, ein surjektiver ein Gruppen-Epimorphismus und ein bijektiver ein Gruppen-Isomorphismus.

Gruppen bilden die Objekte einer Kategorie, die Kategorie Grp der Gruppen, mit den Gruppenhomomorphismen als Morphismen.

Definition 1.4   Es seien $(G_1,\cdot,e_1)$ und $(G_2,\cdot,e_2)$ Gruppen und $f \in \textrm{\upshape Hom}(G_1,G_2)$ ein Gruppenhomomorphismus. Dann heißt die Menge $\textrm{\upshape ker} f := \{g \in G_1\vert f(g) = e_2\}$ der Kern von $f$.

Der Kern von $f$ ist das vollständige Urbild des neutralen Elements und ist eine Untergruppe von $G_1$.

Ein Gruppenhomomorphismus ist genau dann injektiv, wenn sein Kern nur das neutrale Element enthält. Der Kern eines Gruppenhomomorphismus $f$ dient unter anderem dazu, Eigenschaften von $f$ und ganz besonders des Bildes $f(G_1)$ zu verstehen. Wir werden gleich sehen, daß mit Hilfe der Kerne sogar eine Klassifikation aller Bilder einer Gruppe unter Gruppenhomomorphismen bis auf Isomorphie möglich ist.