Strukturen von Gruppen

Ein erstes Resultat zur Klassifikation von Gruppen gibt der folgende Darstellungssatz von Cayley:

Satz 1.2   Jede Gruppe ist isomorph zu einer Gruppe von Permutationen. Für jede Gruppe $(G,\cdot,e)$ gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus $\pi: G \to S(G)$ in die symmetrische Gruppe auf $G$, und dessen Bild ist eine zu $G$ isomorphe Untergruppe der $S(G)$. Für $a \in G$ leistet $\pi(a) := (G \ni g \mapsto ag \in G)$ das Gewünschte.

Zum Beweis überprüft man die Homomorphismuseigenschaft durch direktes Nachrechnen und zeigt, daß der Kern der Abbildung $\pi$ nur das neutrale Element enthält.

Kerne sind zwar Untergruppen, aber im Allgemeinen ist nicht jede Untergruppe Kern eines Gruppenhomomorphismus.

Genauer gefaßt wird die Situation durch den folgenden Begriff:

Definition 1.5   Es seien $(G,\cdot,e)$ eine Gruppe und $N \leq G$ eine Untergruppe. Man nennt $N$ einen Normalteiler oder eine invariante Untergruppe von $G$, falls $N$ unter Konjugationen mit Gruppenelementen invariant bleibt, $\forall g \in G: g N g^{-1} \subseteq N$. Symbolisch schreibt man $N \unlhd G$.

In einer Abelschen Gruppe ist jede Untergruppe auch Normalteiler, in einer Nicht-Abelschen Gruppe im Allgemeinen jedoch nicht. Zur Übung bestimme man alle Untergruppen und Normalteiler der Gruppen $S(3)$ und $S(4)$. Für $n \in \mathbb{N}$ bildet die Menge $A_n$ aller geraden Permutationen einen Normalteiler von $S_n$.

Eine äquivalente Bedingung für eine Untergruppe $N$, Normalteiler in $G$ zu sein, ist übrigens $\forall g \in G: g N = N g$, kurz: Linksnebenklasse = Rechtsnebenklasse. Insbesondere ist die Menge aller Linksnebenklassen gleich der Menge aller Rechtsnebenklassen. Diese Menge $G/N := \{g N \vert g \in G\}$ ist für das Studium der Struktur von Gruppen und von Gruppenhomomorphismen so wichtig, daß sie eine eigene Bezeichnung verdient. Auf ihr läßt sich sofort in natürlicher Weise eine Gruppenoperation definieren, $gN \cdot hN := (gh)N$, womit $G/N$ die Struktur einer Gruppe mit dem neutralen Element $N$ erhält. Die Abbildung $\pi: G \to G/N$ mit $\pi(g) = gN$, die jedem Gruppenelement seine Nebenklasse zuordnet, ist surjektiv und wird als kanonische Projektion bezeichnet.

Definition 1.6   Es seien $G$ eine Gruppe und $N \unlhd G$ ein Normalteiler, $G/N$ wie oben. Dann heißt $G/N$ die Faktorgruppe von $G$ nach $N$.

Als Beispiel betrachten wir wieder Restklassen, $G := \mathbb{Z}$ mit der Addition, $n \in \mathbb{N}$, $N := n \mathbb{Z}$. Wir haben schon gesehen, daß dabei Rechts- und Linksnebenklassen übereinstimmen, es liegt also mit $n \mathbb{Z}$ ein Normalteiler von $\mathbb{Z}$ vor. Nun können wir die Menge der Restklassen korrekt als $\mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}$ bezeichnen, wir können Restklassen addieren und deren Inverse bilden:

$$\mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}= \{a + n \mathbb{Z}\vert a \in \mathbb{Z}\} = \{a + n \mathbb{Z}\vert a \in \{0,1,\dots,n-1\} \}$$

$$\bar{a} := a + n \mathbb{Z}$$

$$\bar{a} + \bar{b} = \overline{a+b}$$

$$\bar{a} + \bar{0} = \bar{0} + \bar{a} = \bar{a}$$

$$\bar{0} = \bar{n}$$

$$\overline{-a} = \overline{0-a} = \overline{n-a}$$

$$\bar{a} + \overline{n-a} = \bar{a} + \overline{-a} = \overline{a-a} = \bar{0}$$

$(\mathbb{Z}/ n \mathbb{Z},+,\bar{0})$ ist eine endliche Gruppe, die sogenannte zyklische Gruppe der Ordnung n, $C_n$. Der Name rührt daher, daß wir bei gegebenem $a \in \{1,\dots,n\}$ auch schreiben können $\bar{a} = \underbrace{\bar{1} + \cdots + \bar{1}}_{a\textrm{-mal}}$, sich jedes Gruppenelement als gegebenenfalls mehrfache Summe ein und desselben Elements $\bar{1}$ schreiben läßt, und $\underbrace{\bar{1} + \cdots + \bar{1}}_{n\textrm{-mal}} = \bar{0}$ gilt. $\bar{1}$ ist dann ein sogenanntes zyklisches Element der Ordnung $n$, und es erzeugt die ganze Gruppe. Die zyklischen Gruppen sind Abelsch und spielen eine zentrale Rolle in der Strukturtheorie Abelscher Gruppen.

Für $n \in \mathbb{N}$ bildet die Menge $A_n$ aller geraden Permutationen einen Normalteiler von $S_n$. Ist zusätzlich $n \ge 3$, so ist die Nebenklassenzerlegung von $S_n$ nach $A_n$ gegeben durch $\{A_n,S_n \setminus A_n \}$ und der Index von $A_n in S_n$ beträgt $[S_n : A_n] = 2$.

Die in der Definition eines Normalteiles auftretende Abbildung $G \to G$, $a \mapsto a^g := g a g^{-1}$ mit $g \in G$ heißt Konjugation mit $g$ und ist ein Gruppen-Isomorphismus. Wir werden die Konjugation später bei der Operation von Gruppen auf Mengen genauer studieren.

Zurück zu den Kernen von Gruppenhomomorphismen. Wir sind jetzt in der Lage, folgenden zentralen Satz über Kerne und Normalteiler zu beweisen:

Satz 1.3   Es seien $(G_1,\cdot,e_1)$ und $(G_2,\cdot,e_2)$ Gruppen und $f \in \textrm{\upshape Hom}(G_1,G_2)$ ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist $\textrm{\upshape ker} f$ ein Normalteiler in $G_1$. Ist umgekehrt $N \lhd G_1$ ein Normalteiler, dann gibt es eine Gruppe $G_2$ und einen Gruppenhomomorphismus $f \in \textrm{\upshape Hom}(G_1,G_2)$, dessen Kern genau $N$ ist.

Beweis: Laut Definition gilt $\textrm{\upshape ker} f = \{a \in G_1 \vert f(a)=e_2\}$. Für jedes $g \in G_1$ und $a \in \textrm{\upshape ker} f$ gilt nun

$$f(g a g^{-1}) = f(g) f(a) f(g)^{-1} = f(g) e_2 f(g)^{-1} = e_2$$

und daher liegt $g a g^{-1}$ in $\textrm{\upshape ker} f$, womit der erste Teil des Satzes gezeigt ist.

Für den Beweis des zweiten Teils setzt man $G_2 := G_1/N$ und $f: G_1 \to G_2$ mit $f(g) := gN$. Die Elemente von $G_2$ sind die Nebenklassen von $G_1$ nach $N$, das neutrale Element in $G_2$ ist $N$.

Nun haben wir einerseits $N \subseteq \textrm{\upshape ker} f$, denn für $a \in N$, gilt $f(a) = aN \subset N$, weil $N$ selbst Untergruppe ist und die Gruppenoperation nicht aus $N$ herausführt.

Andererseits haben wir auch $\textrm{\upshape ker} f \subseteq N$, weil jedes $g \in \textrm{\upshape ker} f$ laut Definition des Kerns $gN = f(g) = e_2 = N$ erfüllt. Daraus folgt $\forall n \in N: g n \in N$ und Multiplikation von rechts mit $n^{-1}$ liefert $g n n^{-1} = g e_1 = g \in Nn^{-1} \subseteq N$, weil $N$ selbst Untergruppe ist. Damit ist der Satz bewiesen.$\Box$

Normalteiler entsprechen also genau den Kernen von Gruppenhomomorphismen. Man kann mit Hilfe der Normalteiler auch sämtliche Bilder einer Gruppe unter einem Gruppen-Homomorphismus bis auf Isomorphie klassifizieren. Das drückt der folgende Homomorphiesatz aus.

Satz 1.4   Es seien $(G_1,\cdot,e_1)$ und $(G_2,\cdot,e_2)$ Gruppen. Weiter seien $f \in \textrm{\upshape Hom}(G_1,G_2)$ ein Gruppenhomomorphismus und $\pi: G_1 \to G_1 / \textrm{\upshape ker} f$ die kanonische Projektion. Dann ist das Bild von $G_1$ unter $f$ isomorph zu $G_1 / \textrm{\upshape ker} f$ und es gibt genau einen Isomorphismus $\tilde{f}: G_1/ \textrm{\upshape ker} f \to f(G_1)$ mit $f = \tilde{f} \circ \pi$.

Beweis: Man zeigt zunächst die Wohldefiniertheit von $\tilde{f}$. Es bezeichne $N := \textrm{\upshape ker} f$ den Kern von $f$, das ist ein Normalteiler in $G_1$. Es seien $g,h \in G_1$ mit $gN = hN$. Dann gilt $h^{-1}g \in N$ und somit

$$f(h^{-1}g)=f(h^{-1})f(g)=f(h)^{-1}f(g) \in f(N)=\{e_2 \},$$

also $f(h)^{-1} f(g) = e_2$ und $f(g) = f(h)$. Setze nun $\tilde{f}(gN) := f(g)$. $\tilde{f}$ ist eine wohldefinierte Abbildung. Direktes Nachrechnen zeigt, $\tilde{f}$ ist ein Gruppen-Homomorphismus. Wegen

$$f(g) = \tilde{f}(gN) = \tilde{f}(\pi(g)) = (\tilde{f} \circ \pi)(g)$$

ist auch $f = \tilde{f} \circ \pi$ erfüllt. Ebenfalls wurde mit den bisherigen Schritten bereits die Eindeutigkeit von $\tilde{f}$ gezeigt. Offensichtlich ist $\tilde{f}$ surjektiv auf das Bild von $f$. Zum Beweis der Injektivität betrachten wir den Kern von $\tilde{f}$.

$$gN \in \textrm{\upshape ker} \tilde{f} \Leftrightarrow \tilde{f}(gN) = e_2 \Leftrightarrow$$

$$f(g) = e_2 \Leftrightarrow g \in \textrm{\upshape ker} f \Leftrightarrow$$

$$g \in N \Rightarrow gN = N.$$

Also ist der Kern von $\tilde{f}$ gleich $\{N\}$ und besteht nur aus dem neutralen Element von $G_1 / N$, was zu zeigen war. Somit ist $\tilde{f}$ ein Isomorphismus.$\Box$