Grundlegende Definitionen

In diesen Abschnitt untersuchen wir ein gewisses Zusammenspiel von Gruppen und anderen Objekten. Beispielsweise hatten wir Drehungen als Elemente von Drehgruppen, und Punkte als Elemente eine affinen Raumes, die durch die Drehungen bewegt werden.

Definition 2.1   Es seien $(G,\cdot,e)$ eine Gruppe und $X$ eine nichtleere Menge. Weiter sei $.: G \times X \to X$, $(g,x) \mapsto g.x$ eine Abbildung. Das Tripel $(G,X,.)$ heißt eine (Links-)Operation oder (Links-)Aktion von $G$ auf $X$, falls die Gruppenoperationen mit der Operationsabbildung $.$ verträglich sind, $\forall a,b \in G \forall x \in X: a.(b .x) = (ab).x$ und $\forall x \in X: e .x = x$.

Ist aus dem Zusammenhang klar, welche Operation gemeint ist, so werden wir anstatt $a .x$ auch kurz $ax$ schreiben. Auch bezeichnet man oft $.$ selbst als Operation der Gruppe auf der Menge.

Jede Gruppe $(G,\cdot,e)$ operiert auf sich selbst, indem man als Operationsabbildung $.$ die Gruppenoperation $\cdot$ nimmt. Für eine Gruppe $G$ und ein Element $g \in G$ gibt es die Linkstranslation $\lambda_g: G \to G$, $\lambda(g)(a) = ga$. Das ist eine bijektive Selbstabbildung, daher liegt $\lambda_g$ in $S(G)$. Die Abbildung $\lambda: G \to S(G)$, $g \mapsto \lambda_g$ ist ein Gruppenhomomorphismus und trat bereits im Darstellungssatz von Cayley auf.

Allgemein liefert jede Operation $(G,X,.)$ einen Gruppenhomomorphismus $G \to S(X)$, $g \mapsto (x \mapsto g .x)$ und umgekehrt jeder Gruppenhomomorphismus $G \to S(X)$ eine Operation. Seinen Kern nennt man auch den Kern der Operation.

Ist der Kern der Operation trivial, so heißt die zugehörige Operation effektiv oder auch treu. Das ist genau dann der Fall, wenn $\forall a,b \in M$ gilt

$$\forall x\in X: ax = bx \Rightarrow a=b.$$

Liegen mit $(G,X,.)$ eine Operation und mit $Y \subseteq X$ eine nichtleere Teilmenge von $X$ vor und wird diese bei der Operation in sich selbst abgebildet, gilt also $G .Y \subseteq Y$, so heißt $Y$ invariant unter der Operation von $G$. Durch Einschränkung erhält man dann eine Operation von $G$ auf $Y$. Analog erhält man für eine Untergruppe $H \leq G$ durch Einschränken eine Operation $(H,X,.)$.

Bei Normalteilern kann man etwas weiter gehen:

Lemma 2.1   Es seien $(G,X,.)$ eine Operation, $\phi: G \to S(X)$ der zugehörige Gruppenhomomorphismus, $N \unlhd G$ ein Normalteiler von $G$, der zusätzlich im Kern der Operation liegt, $N \subseteq \textrm{\upshape ker} \phi$. Dann wird eine Operation $(G/N,X, .)$ induziert, die $gN .x = g .x$ leistet.

Zum Beweis wende man die Homomorphiesätze an.

Insbesondere induziert jede Operation $(G,X,.)$ eine effektive Operation $(G/ \textrm{\upshape ker} \phi,X, .)$.