Bahnen

Gewisse Teilmengen von $X$ sind minimal invariant:

Definition 2.2   Es sei $(G,X,.)$ eine Operation. Dann nennt man für jedes $x \in X$ die Menge $Gx := \{g .x \vert g \in G\}$ die Bahn oder den Orbit von $x$ unter $G$. Die Menge aller Bahnen in $X$ wird mit $X/G$ bezeichnet. Jede Abbildung $X/G \to X$, die jeder Bahn $Gx$ einen ihrer Repräsentanten $x$ zuordnet, heißt eine Transversale. Das (vollständige) Bild einer Transversalen nennt man einen Fundamentalbereich bezüglich der Operation von $G$ auf $X$.

Ein Fundamentalbereich bildet ein vollständiges Repräsentantensystem für die Menge der Bahnen. Wenn man explizit hervorheben möchte, daß eine Links-Operation vorliegt, so schreibt man anstatt $X/G$ auch $G\setminus X$ - die operierende Gruppe steht dann auch links.

Eine invariante Menge $Y \subseteq X$ muß für jeden Punkt $y \in Y$ auch die Bahn $Gy$ umfassen.

Für das Anfangswertproblem einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung

$$y' = Ay, \quad y(0) = y_0$$

$$A \in \mathbb{R}^{n \times n}, \quad y_0 \in \mathbb{R}^n$$

ist die Lösung durch $y(t) = e^{t A} y_0$ gegeben. Die Abbildung $\textrm{\upshape Fl}: \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, $(t,y0) \mapsto e^{t A} y_0$ ist eine Operation der Gruppe $(\mathbb{R},+,0)$ auf der Menge $\mathbb{R}^n$ und heißt Fluß des zur Differentialgleichung gehörenden Vektorfeldes (Richtungsfeldes). Der Gruppenhomomorphismus $\mathbb{R}\to S(\mathbb{R})$ leistet $t \mapsto \textrm{\upshape Fl}_t := (y_0 \mapsto y(t))$. Die Verträglichkeit der Operation mit der Gruppenoperation (der Addition) lautet hier $\textrm{\upshape Fl}_t \circ \textrm{\upshape Fl}_s = \textrm{\upshape Fl}_{t+s}$ und $\textrm{\upshape Fl}_0 = \textrm{\upshape id}_{\mathbb{R}^n}$. Es liegt ein kontinuierliches Dynamisches System vor. Die Bahnen der Operation sind genau die Orbits der Differentialgleichung. Sie sind unter dem Fluß invariant. Die Menge der Bahnen entspricht in etwa dem Phasenportrait der Lösungen der Differentialgleichung (die Topologie, die Lage der Bahnen zueinander haben wir nicht berücksichtigt). Die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen lehrt, wie die Bahnen durch die Jordan-Blöcke und invarianten Unterräume der Matrix $A$ klassifiziert werden können. Den gruppentheoretischen Zusammenhang von Jordan-Normalform und Klassifikation der Bahnen werden wir in Kürze kennenlernen.