Stabilisatorgruppe

Wir entfernen uns nun inhaltlich etwas von der Menge $X$ und ihren Teilmengen und wenden uns mehr der auf $X$ operierenden Gruppe $G$ zu. Über $X$ hatten wir so gut wie gar nichts vorausgesetzt, keinerlei algebraische Struktur, keine Topologie. Hingegen haben wir auf $G$ die algebraische Struktur einer Gruppe, die wir etwas mehr ausnützen wollen. Es ist nun durchaus eine interessante Frage, wie Untergruppen von $G$ mit der Operation zusammenhängen.

Definition 2.3   Es seien $(G,X,.)$ eine Operation und $x \in X$. Dann nennt man $G_x := \{g \in G \vert gx = x\}$ den Einpunkt-Stabilisator von $x$, oder auch Isotropiegruppe, Standgruppe von $x$.

Für jedes $x \in X$ ist der Einpunkt-Stabilisator $G_x$ eine Untergruppe von $G$. Die Menge $\{x\}$ ist genau dann invariant, wenn $G_x = G$; in diesem Fall nennt man $x$ einen Fixpunkt der Operation. Die Bahn eines Fixpunkts besteht nur aus einem Element. Die Menge aller Fixpunkte bezeichnen wir mit $\textrm{\upshape Fix}_G(X) := \{x \in X \vert Gx = \{x\}\}$.

Den Kern einer Operation erhält man, indem man den Durchschnitt aller Stabilisatorgruppen bildet. Insbesondere ist der Kern der Operation ein Normalteiler jedes Einpunkt-Stabilisators.

Als Beispiel betrachten wir die Gruppe $SO(2)$ der Drehungen um den Ursprung im $\mathbb{R}^2$. Drehungen um den Ursprung sind bijektive lineare Abbildungen, und lassen sich mit Hilfe von Drehmatrizen beschreiben. Die $SO(2)$ ist eine Untergruppe der $GL(2,\mathbb{R})$. Jede Drehung läßt den Ursprung $(0,0)$ fest, also ist $(0,0)$ ein Fixpunkt, seine Stabilisatorgruppe ist die ganze Drehgruppe, $SO(2)_{(0,0)} = SO(2)$. Jeder andere Punkt $(x_0,y_0) \in \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ wird durch Drehungen auf einer Kreisbahn um den Ursprung bewegt, seine Bahn ist der Kreis $SO(2)(x_0,y_0) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \vert \vert(x,y)\vert = \vert(x_0,y_0)\vert \}$, und die Stabilisatorgruppe besteht bloß aus der identischen Abbildung, $SO(2)_{(x_0,y_0)} = \{\textrm{id}_{\mathbb{R}^2}\}$, einer Drehung mit Drehwinkel Null. Somit besteht der Kern der Operation als Durchschnitt aller Einpunkt-Stabilisatoren nur aus dem neutralen Element der Gruppe, die Operation ist effektiv. Die Menge $\mathbb{R}^2 / SO(2)$ aller Bahnen besteht aus dem Ursprung und konzentrischen Kreisen mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Jeder Bahn kann man ihren Schnittpunkt mit der nichtnegativen $x$-Achse, das ist der Punkt mit den Koordinaten $(\textrm{Kreisradius},0)$, als Repräsentant zuordnen. Das liefert eine Transversale, und die nichtnegative $x$-Achse ist ein Fundamentalbereich.