Konjugation

Für die weitere Untersuchung greifen wir auf die Konjugation zurück, auf die wir bereits bei der Vorstellung von Normalteilern gestoßen sind. Sie wird sich als das Bindeglied zwischen Stabilisatorgruppen und Bahnpunkten erweisen. Wir beginnen mit ihrer Definition.

Definition 2.4   Es sei $(G,\cdot,e)$ eine Gruppe. Dann induziert jedes Element $g \in G$ eine Abbildung $.^g: G \to G$, $a \mapsto a^g := g a g^{-1}$. Diese nennt man die Konjugation mit $g$.

Die Konjugation ist ein Isomorphismus, denn für $a,b,g \in G$ gilt

$$a^g b^g = g a g^{-1} g b g^{-1} = g a b g^{-1} = (ab)^g,$$

$$e^g = g e g^{-1} = g g^{-1} = e$$

und für $a,g,h \in G$ gilt

$$(a^g)^h = (g a g^{-1})^h = h g a g^{-1} h^{-1} = (hg) a (hg)^{-1} = a^{(hg)}$$

$$(a^g)^{(g^{-1})} = a^{(g^{-1} g)} = a^e = e a e^{-1} = eae = a$$

$$(.^{g^{-1}}) \circ (.^{g}) = \textrm{\upshape id}_G$$

analog umgekehrt. Mit $.: G \times G \to G$, $g .a := a^g$ ist eine Operation der Gruppe $G$ auf sich selbst definiert. Man sagt, $G$ operiert auf sich durch Konjugation.

Wir betrachten ein Beispiel. Es seien $V = \mathbb{R}^n$ als endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $G = \textrm{\upshape GL}(V)$. $G$ operiere auf sich durch Konjugation. Für zwei Abbildungen $f,g \in \textrm{\upshape GL}(V)$ bedeutet Konjugation nichts anderes als $f^g = g \circ f \circ g^{-1}$. Wir benutzen die kanonische Basis $E$ von $V$ und nennen die Koordinatisierungsabbildung für Vektoren $\Phi_E: V \to \mathbb{R}^n$ und jene für Abbildungen $\Phi_{EE}$. Mit Hilfe von $\Phi_{EE}$ wird jede Abbildung $f \in G$ mit einer invertierbaren Matrix $\Phi_{EE}(f) \in \mathbb{R}^{n \times n}$, ihrer Koordinatenmatrix bezüglich der kanonischen Basis, identifiziert, und umgekehrt stammt jede invertierbare Matrix von einer Abbildung $f \in G$. Bei einem Basiswechsel zur Basis $C$ wird die Koordinatenmatrix $\Phi_{EE}(f)$ in die Koordinatenmatrix $\Phi_{CC}(f)$ transformiert. Das geschieht mit den Transformationsmatrizen $T_{EC}$ und $T_{CE} = T_{EC}^{-1}$. Die Reihenfolge der Basen in der Notation ist von-nach. Dieser Transformationsvorgang lautet explizit

$$\Phi_{CC}(f) = T_{EC} \cdot \Phi_{EE}(f) \cdot T_{CE} = T_{EC} \cdot \Phi_{EE}(f) \cdot T_{EC}^{-1},$$

und entspricht gerade der Konjugation. Auch $T_{EC}$ ist ja eine invertierbare Matrix und läßt sich als ein $\Phi_{EE}(g)$ auffassen. $\Phi_{CC}(f)$ ist dann $\Phi_{EE}(f^g)$. Die Bahnen der Operation durch Konjugation bestehen aus allen invertierbaren Matrizen (bzw. Abbildungen) mit gleicher reeller Jordan-Normalform. Die Zuordnung der reellen Jordan-Normalform liefert eine Transversale, die invertierbaren Matrizen in Jordan-Normalform bilden einen Fundamentalbereich.

Für das Studium von Bahnen mit Hilfe der Einpunkt-Stabilisatoren beobachtet man zunächst, daß die Stabilisatorgruppen der Punkte einer Bahn auseinander durch Konjugation hervorgehen. Genauer beschreibt diesen Sachverhalt das folgende

Lemma 2.2   Es seien $(G,X,.)$ eine Operation, $g \in G$ und $x \in X$. Dann gilt $G_{g.x} = g G_x g^{-1} = (G_x)^g$.

Beweis: Es sei $h \in G$. Dann haben wir

$$h .(g .x) = g .x$$

$$\Leftrightarrow g^{-1} .(h .(g .x)) = g^{-1} .(g .x)$$

$$\Leftrightarrow (g^{-1} h g) .x = x.$$

Damit zeigen wir die Äquivalenzen

$$h \in G_{g .x} \Leftrightarrow h^{(g^{-1})} \in G_x$$

$$\Leftrightarrow (h^{(g^{-1})})^g \in (G_x)^g \Leftrightarrow h \in (G_x)^g$$

und das ist gerade die Aussage des Lemmas.$\Box$.

Will man Operationen mit Hilfe von Einpunkt-Stabilisatoren (die ja Untergruppen sind) studieren, so reicht es aus, dies bis auf zueinander konjugierte Untergruppen zu tun. Das ist eine wesentliche Vereinfachung für die Klassifikation von Operationen. Als nächstes verbinden wir Nebenklassen von Einpunkt-Stabilisatoren mit Bahnpunkten und bekommen damit auch eine Aussage über die Kardinalität eines Orbits - durch rein gruppentheoretische Methoden.

Satz 2.1   Es seien $(G,X,.)$ eine Operation und $x \in X$. Die Fasern der surjektiven Abbildung $G \to Gx$, $g \mapsto g .x$ sind genau die Linksnebenklassen des Einpunkt-Stabilisators $G_x$ von $x$. Insbesondere ist $\vert Gx\vert = [G : G_x]$.

Beweis: Es seien $g,h \in G$. Diese liegen genau dann in derselben Faser, wenn $g.x= h.x$ bzw. $h^{-1} g .x = x$ also $h^{-1} g \in G_x$, was $g G_x = h G_x$ bedeutet, und der erste Teil des Satzes ist gezeigt. Der Satz von Lagrange liefert sofort die Kardinalitätsaussage. Damit ist der ganze Satz bewiesen.$\Box$