Der Unterschied zwischen reeller und komplexer Integration

Vorbemerkung: Aus Gründen der Anschaulichkeit, habe ich weitgehend auf eine exakte mathematische Darstellung verzichtet. Ich verweise stattdessen auf die einschlägigen Lehrbücher.

Wie ist die Situation im Reellen?

Bekanntermaßen besitzt jede stetige Funktion $f:[a,b]\rightarrow\Re, a<b$ eine Stammfunktion, zum Beispiel die Integralfunktion:

$$F(x):=\int_a^x f(t)dt$$

Dabei spielt es keine Rolle, ob man den Riemannschen Integralbegriff oder das Lebesgue-Integral benutzt [FreiBus91] Seite 61. Zur Erinnerung:

Beim Riemannschen Integral benutzt man sog. ``Treppenfunktionen'' mit denen die zu untersuchende Funktion approximiert wird. Dabei wird die $x$-Achse gewissermaßen in Teile zerlegt.

Eine Funktion $f:[a,b]\rightarrow\Re$ ist dabei gerade dann Riemann-integrierbar, wenn zu jedem $\varepsilon>0$ Treppenfunktionen $\varphi,\psi\in T[a,b]$, (dabei ist $T[a,b]$ die Menge aller Treppenfunktionen), existieren mit $\varphi\leq f\leq\psi$ und

$$\int^b_a\psi(x)dx-\int^b_a\varphi(x)dx\leq\varepsilon$$

Für eine genaue Abhandlung, siehe z.B. [For92] Seite 125ff.

Anders in der komplexen Ebene. Dort muß eine Funktion, die eine Stammfunktion hat, analytisch sein. Auch diesen Begriff will ich kurz erklären: Eine Funktion ist analytisch, wenn sie

• eindeutig und differenzierbar

oder

• wenn die partiellen Ableitungen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen:
  
  $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$$
  
  

oder

• wenn sie in ihrem Analytizitätsbereich beliebig oft differenzierbar ist

Analytizität ist also eine wesentlich stärkere Forderung als die Stetigkeit.

Ein weiterer Unterschied ist, daß das komplexe Integral ein Kurvenintegral ist, welches von der Wahl der Verbindungskurve abhängt. Dies führt zum Begriff des ``Linienintegrals''.