Das Linienintegral

Wir haben bereits festgestellt, daß komplexe Integrale ``Kurvenintegrale'' sind, das bedeutet, wir müssen zunächst einmal klären was eine Kurve im mathematischen Sinne ist.

Definition: Eine Kurve ist eine stetige Abbildung

$$\Phi:[a,b]\rightarrow\mathbb{C}, a<b$$

eines kompakten reellen Intervalls in der komplexen Ebene.

So eine Kurve kann man natürlich beliebig konstruieren, deshalb fordern daß der Weg zumindest ``stückweise glatt'' sein soll. Was bedeutet ``glatt''? Nun, nichts weiter, als daß die Kurve stetig differenzierbar ist. Damit ist auch klar, was ``stückweise glatt'' bedeutet: Eine stückweise glatte Kurve ist also aus glatten Teilstücken

$$a=a_0<a_1<...<a_n=b$$

zusammengesetzt.

Einen geschlossenen Weg nennt man Schlinge. Hat diese Schlinge keine Überkreuzung hat man es mit einer einfachen Schlinge zu tun. Der Weg gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet man als die positive Richtung. Bei der komplexen Integration integriert man Funktionen entlang solcher Wege. Gelegentlich ist es von Bedeutung, ob diese Wege verformbar sind. Dabei spielt die topologische Struktur von Gebieten (G) in $\mathbb{C}$ eine Rolle.

Abbildung: Beispiel für ein einfach zusammenhängendes Gebiet (links) und ein nicht einfach zusammenhängendes Gebiet (rechts) in $\mathbb{C}$.

In einfach zusammenhängenden Gebieten können einfache Schlingen ineinander stetig überführt werden. Zwei Kurven, die bijektiv und stetig ineinander überführt werden können, heißen ``homotop''. Bisher haben wir noch nicht definiert was überhaupt ein Kurvenintegral ist. Dies soll nun nachgeholt werden.

Definition: Sei

$$\Phi:[a,b]\rightarrow\mathbb{C}$$

eine glatte Kurve und

$$f:D\rightarrow\mathbb{C}\hspace{1cm}D\in\mathbb{C}$$

eine stetige Funktion. Dann ist

$$\int_\Phi f:=\int_\Phi f(\psi)d\psi = \int^b_af(\Phi(t))\Phi'(t)dt$$

das Kurvenintegral von $f$ entlang $\Phi$.

Doch zunächst einmal genug der Theorie, wenden wir uns der Praxis zu. Um ein komplexes Integral berechnen zu können, muß die Kurve parametrisiert werden. Häufig gebraucht man dabei:

• Für einen Kreis um den Punkt $z_0$ mit dem Radius $R:\Phi(t) =z_0+Re^{it}, 0\leq t\leq 2\pi$. Durchläuft man den Kreis im Uhrzeigersinn, benutzt man $\Phi(t)=z_0+Re^{-it}$
• Für eine Strecke von $z_0$ nach $z_1$: $\Phi(t)=z_0+t(z_1-z_0)$, wobei $0\leq t\leq 1)$

Ein Beispiel: Sei C ein Kreis mit dem Radius 5 um den Punkt 0. Berechne

$$\int_c\mbox{\={z}}dz$$

Zunächst also einmal $C:\Phi(t)$ mit $5e^{it}, 0\leq t\leq 2\pi$ parametrisieren, $\Phi'(t)=5ie^{it}$, dann ist $z(t)=5e^{it}=5(\cos t + i\sin t)$ und $\bar{z}=5(\cos t - i\sin t) = 5e^{-it}$

Dann ist

$$\int_c \bar{z} dz = \int^{2\pi}_05e^{-it}\cdot 5e^{it}idt$$

$$=\int^{2\pi}_025idt=50\pi i$$