Der Integralsatz von Cauchy

Sei $G\in\mathbb{c}$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und $f$ eine Funktion in $G$, dann gilt für jede einfache Schlinge $C$:

$$\oint_Cdz f(z) = 0$$

Beweis, siehe z.B. [Endl87] Seite 141ff.

Mit Hilfe des Integralsatzes von Cauchy lassen sich Integrale umschreiben: Ein Integral über das Teilstück $C_1$ eines geschlossenen Weges $C=C_1\cup C_2$ läßt sich über das Integral des anderen Teilstückes $C_2$ ausdrücken:

$$0=\oint_C dz f(z)=\int_{C_1}dz f(z) + \int_{C_2} dz f(z)\Rightarrow\int_{C_1}dz f(z) =-\int_{C_2} dz f(z)$$

Ein Beispiel zum Cauchyintegralsatz: Es soll folgendes Integral berechnet werden

$$\oint_Cdz\frac{b}{(z-a)^n},\hspace{1cm}(n\in\mathbb{Z})$$

Der geschlossene Weg führt um den Punkt $z=a$ herum, das bedeutet die Funktion ist analytisch, außer bei $z=a$, dort hat sie einen Pol $n$-ter Ordnung. Man wählt einen Kreis mit Radius $r=1$ um den Mittelpunkt $z=a$

$$z(t)=a+e^{it},\hspace{0.3cm}dz=ie^{it}dt,\hspace{0.3cm}(z-a)^n=e^{int}$$

Man erhält:

$$\oint_Cdt\frac{b}{(z-a)^n}=ib\int^{2\pi}_0dt e^{i(1-n)t}=\lef... ...uml {u}r}& n=1\ 0&\mbox{f\uml {u}r}& n\neq 1\end{array}\right.$$

Also

$$\oint_Cdz\frac{b}{(z-a)^n}=2b\pi i\delta_{n1}$$