Die Cauchy-Integralformel

Sei die Funktion $f$ analytisch auf dem Gebiet $G$. $C$ sei eine geschlossene Kurve, die samt ihrem Innern in $G$ enthalten ist.

Dann gilt:

$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z')}{z'-z}dz$$

Und die verallgemeinerte Cauchy-Integralformel:

$$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z')}{(z'-z)^{n+1}}dz$$

Beweis siehe z.B. [FreiBus91] Seite 87ff.

Die Aussage des Satzes ist, daß man aus der Kenntnis der Funktionswerte am Rand des Analytizitätsgebiets alle Funktionswerte im Innern bestimmen kann [LaPu98] Seite 502

Dies probieren wir gleich an einem Beispiel aus

$$\oint_Cdz\frac{\sin z}{2z-\pi}$$

Der Kreis habe den Radius $r=2$, der Pol $(z=\frac{\pi}{2})$ liegt also im Innern des Kreises. Setzt man $z_0=\frac{\pi}{2}$ und $f(z)=\frac{1}{2}\sin z$, hat das Integral die Form der Integralformel von Cauchy. Das Ergebnis ist daher $2\pi i\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2})=i\pi$.