Die Laurentreihe

Wir erinnern uns an die Potenzreihen. Solche Reihen konvergieren im Analytizitätsbereich in einem Kreis. Sozusagen eine ``verbesserte'' Form der Reihenentwicklung ist die in Laurentreihen. Der Vorteil: Man kann eine Funktion rund um eine Singularität (unter Ausschluß eines inneren Kreises um die Singularität) entwickeln.

Definition: Unter einer Laurentreihe versteht man eine Reihe der Form

$$\sum^\infty_{n=-\infty}a_n z^n = \underbrace{\sum^\infty_{n=1... ...}} + \underbrace{\sum^\infty_{n=0}a_nz^n}_{ \mbox{Nebenteil}}$$

Ein Beispiel: Laurentreihenentwicklung von

$$f(z)=\frac{z^2-4z+2}{z(z-1)(z-2)}=\frac{1}{z}+\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-2}$$

Für den Entwicklungspunkt $z=0$ erhält man die Konvergenzgebiete $A_1(0<\vert z\vert<1),A_2(1<\vert z\vert<2) \mbox{und} A_3(2<\vert z\vert)$. Für jedes Gebiet muß eine eigene Reihe entwickelt werde. Sie lauten im einzelnen:

$$A_1:f(z)=\frac{1}{z}-\frac{1}{1-z}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-\fra... ...1}{z}-\sum^\infty_{n=0}z^n+\sum^\infty_{n=0}\frac{z^n}{2^{n+1}}$$

$$A_2:f(z)=\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}+\frac... ...^\infty_{n=1}\frac{1}{z^n}+\sum^\infty_{n=0}\frac{z^n}{2^{n+1}}$$

und

$$A_3:f(z)=\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}-\frac... ...^\infty_{n=1}\frac{1}{z^n}-\sum^\infty_{n=1}\frac{2^{n-1}}{z^n}$$