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Singularitäten

Eine isolierte Singularität $z_0$ einer analytischen Funktion $f(z)$ heißt
1.
hebbar
oder
2.
Pol
oder
3.
wesentlich
je nachdem, ob der Hauptterm der Laurentreihe
1.
Null ist
oder
2.
endlich, also von der Form

\begin{displaymath}\frac{a_{-k}}{z^k}+\frac{a_{-(k-1)}}
{z^{k-1}}+\dots +\frac{a_{-1}}{z}\end{displaymath}

ist. Man sagt auch ``Pol $k$-ter Ordnung''
oder
3.
unendlich viele von Null verschiedene Summanden hat

Bei physikalischen Anwendungen hat man es in der Regel mit Polen $k$-ter Ordnung zu tun (eigentlich sind sie sogar fast immer von erster Ordnung...). Wir ignorieren also die anderen Fälle und fragen uns: Woher weiß ich von welcher Ordnung mein Pol ist?

Die Ordnung eines Pols der Funktion $f$ in $a$ ist $k$


\begin{displaymath}\mathrm{ord}(f;a):=-k\end{displaymath}

ist $\mathrm{ord}(f;a)<0 \Rightarrow a$ ist ein Pol. Ein Beispiel:


\begin{displaymath}f(z)=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z}=z^{-2}(1+x)=z^{-2}h(x)\end{displaymath}

also $\mathrm{ord}(f;0)=-2$. Die Funktion $f$ hat bei 0 einen Pol 2. Ordnung.



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