Singularitäten

Eine isolierte Singularität $z_0$ einer analytischen Funktion $f(z)$ heißt

1.

hebbar

oder

2.

Pol

oder

3.

wesentlich

je nachdem, ob der Hauptterm der Laurentreihe

1.

Null ist

oder

2.

endlich, also von der Form

$$\frac{a_{-k}}{z^k}+\frac{a_{-(k-1)}} {z^{k-1}}+\dots +\frac{a_{-1}}{z}$$

ist. Man sagt auch ``Pol $k$-ter Ordnung''

oder

3.

unendlich viele von Null verschiedene Summanden hat

Bei physikalischen Anwendungen hat man es in der Regel mit Polen $k$-ter Ordnung zu tun (eigentlich sind sie sogar fast immer von erster Ordnung...). Wir ignorieren also die anderen Fälle und fragen uns: Woher weiß ich von welcher Ordnung mein Pol ist?

Die Ordnung eines Pols der Funktion $f$ in $a$ ist $k$

$$\mathrm{ord}(f;a):=-k$$

ist $\mathrm{ord}(f;a)<0 \Rightarrow a$ ist ein Pol. Ein Beispiel:

$$f(z)=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z}=z^{-2}(1+x)=z^{-2}h(x)$$

also $\mathrm{ord}(f;0)=-2$. Die Funktion $f$ hat bei 0 einen Pol 2. Ordnung.