Der Residuensatz

Ist $f$ in $G$ analytisch, bis auf isolierte Singularitäten, ist $C$ eine einfach geschlossene, stückweise glatte Kurve in $G$, die keine Singularitäten berührt, und die ganz in $G$ liegt. Dann ist

$$\frac{1}{2\pi i}\oint_Cf(z)dz=\sum_nRes(f;z_0)$$

Wie findet man das Residuum? Ist der Pol von erster Ordnung, so bestimmt man

$$\mathrm{Res}(f;z_0)=\lim_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)f(z)$$

Bei Polen $n$-ter Ordnung

$$\mathrm{Res}(f;z_0)=\lim_{z\rightarrow z_0} \frac{1}{(n-1)!} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left[(z-z_0)^nf(z)\right]$$

Hat $f$ die Form $\frac{g(z)}{h(z)}$, wobei $h(z_0)= 0$ und $h'(z_0) \neq 0$ findet man das Residuum durch

$$\mathrm{Res}(f;z_o)=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}$$

Ein Beispiel:

$$f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^3}$$

Dann ist

$$Res\left(\frac{e^z}{(z-1)^3},1\right)=\lim_{z\rightarrow 1}\frac{1}{2!}\frac{d^2}{dz^2}\left[(z-1)^3\frac{e^z}{(z-1)^3}\right]$$

$$=\lim_{z\rightarrow 1}\frac{1}{2}\frac{d^2}{dz^2}e^z=\lim_{z\rightarrow 1}\frac{1}{2}e^z=\frac{e}{2}$$