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Der Residuensatz

Ist $f$ in $G$ analytisch, bis auf isolierte Singularitäten, ist $C$ eine einfach geschlossene, stückweise glatte Kurve in $G$, die keine Singularitäten berührt, und die ganz in $G$ liegt. Dann ist


\begin{displaymath}\frac{1}{2\pi i}\oint_Cf(z)dz=\sum_nRes(f;z_0)\end{displaymath}

Wie findet man das Residuum? Ist der Pol von erster Ordnung, so bestimmt man


\begin{displaymath}\mathrm{Res}(f;z_0)=\lim_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)f(z)\end{displaymath}

Bei Polen $n$-ter Ordnung


\begin{displaymath}\mathrm{Res}(f;z_0)=\lim_{z\rightarrow z_0} \frac{1}{(n-1)!}
\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left[(z-z_0)^nf(z)\right]\end{displaymath}

Hat $f$ die Form $\frac{g(z)}{h(z)}$, wobei $h(z_0)= 0$ und $h'(z_0)
\neq 0$ findet man das Residuum durch


\begin{displaymath}\mathrm{Res}(f;z_o)=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}\end{displaymath}

Ein Beispiel:

\begin{displaymath}f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^3}\end{displaymath}

Dann ist

\begin{displaymath}Res\left(\frac{e^z}{(z-1)^3},1\right)=\lim_{z\rightarrow 1}\frac{1}{2!}\frac{d^2}{dz^2}\left[(z-1)^3\frac{e^z}{(z-1)^3}\right]\end{displaymath}


\begin{displaymath}=\lim_{z\rightarrow
1}\frac{1}{2}\frac{d^2}{dz^2}e^z=\lim_{z\rightarrow
1}\frac{1}{2}e^z=\frac{e}{2}\end{displaymath}



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