Nächste Seite: Friedmann-Lemaitre-Gleichungen Aufwärts: Abriß über die Kosmologie Vorherige Seite: Abriß über die Kosmologie   Inhalt

Feldgleichungen

Es werden in der relativistischen Kosmologie folgende Voraussetzungen gemacht:

Die Raum-Zeit-Struktur wird mit Hilfe der zugrundeliegenden Metrik beschrieben, in der vierdimensionalen Raumzeit mit dem Linienelement: $ ds^2=dt^2-(dx^2+dy^2+dz^2)$ Oder allgemeiner auch in Nichtinertialsystemen: $ ds^2=\sum_{\mu \nu}^4 g_{\mu \nu} dx^{\mu}
dx^{\nu}$. $ g_{\mu \nu}$ ist hier der metrische Tensor, welcher die einfache Diagonalgestalt

$\displaystyle g_{\mu \nu}=(1, -1, -1, -1)$    

hat.

Die einfachste Metrik unter obigen Bedingungen ist die Robertson-Walker-Metrik, bei der ein Linienelement beschrieben wird mit: $ ds^2=dt^2-R(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2
d\theta^2+r^2 sin^2 \theta d\phi^2 \right] $ $ R(t)$ ist der Skalenfaktor1 und $ k$ charakterisiert die Krümmung, ein geschlossenes Universum besitzt $ k=+1$ (a), ein flaches, euklidisches Universum hat $ k=0$ (b) und ein offenes, hyperbolisches Universum besitzt $ k=-1$ (c).

\includegraphics[width=0.8\textwidth]{flaeche.eps}

Im geschlossenen Universum kann man $ R$ als Radius des Universums interpretieren. Die Dynamik steckt nun in dem zeitabhängigen Skalenfaktor $ R(t)$, der beschrieben wird durch die Einsteinschen Feldgleichungen:

$\displaystyle R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}R(t)g_{\mu \nu}-\Lambda g_{\mu \nu}=8\pi G T_{\mu \nu}$    

Der Energie-Impuls-Tensor ist aufgrund des Weylschen Postulats

$\displaystyle T_{\mu \nu}=diag(\rho, -p, -p, -p), \; R_{\mu \nu}$    

ist der Ricci-Tensor.




Nächste Seite: Friedmann-Lemaitre-Gleichungen Aufwärts: Abriß über die Kosmologie Vorherige Seite: Abriß über die Kosmologie   Inhalt
FAQ Homepage