Feldgleichungen

Es werden in der relativistischen Kosmologie folgende Voraussetzungen gemacht:

• Es gilt das kosmologische Prinzip: Das Universum bietet, lokale Unregelmäßigkeiten ausgenommen, zu jedem Zeitpunkt von jedem Punkt aus den gleichen Anblick (Isotropie $\rightarrow$ Homogenität).
• Es gilt das Weylsche Postulat: Materie verhält sich im Universum wie eine ideale Flüssigkeit.
• Es gilt die Allgemeine Relativitätstheorie

Die Raum-Zeit-Struktur wird mit Hilfe der zugrundeliegenden Metrik beschrieben, in der vierdimensionalen Raumzeit mit dem Linienelement: $ds^2=dt^2-(dx^2+dy^2+dz^2)$ Oder allgemeiner auch in Nichtinertialsystemen: $ds^2=\sum_{\mu \nu}^4 g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu}$. $g_{\mu \nu}$ ist hier der metrische Tensor, welcher die einfache Diagonalgestalt

$$g_{\mu \nu}=(1, -1, -1, -1)$$

hat.

Die einfachste Metrik unter obigen Bedingungen ist die Robertson-Walker-Metrik, bei der ein Linienelement beschrieben wird mit: $ds^2=dt^2-R(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2 d\theta^2+r^2 sin^2 \theta d\phi^2 \right]$ $R(t)$ ist der Skalenfaktor¹ und $k$ charakterisiert die Krümmung, ein geschlossenes Universum besitzt $k=+1$ (a), ein flaches, euklidisches Universum hat $k=0$ (b) und ein offenes, hyperbolisches Universum besitzt $k=-1$ (c).

Im geschlossenen Universum kann man $R$ als Radius des Universums interpretieren. Die Dynamik steckt nun in dem zeitabhängigen Skalenfaktor $R(t)$, der beschrieben wird durch die Einsteinschen Feldgleichungen:

$$R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}R(t)g_{\mu \nu}-\Lambda g_{\mu \nu}=8\pi G T_{\mu \nu}$$

Der Energie-Impuls-Tensor ist aufgrund des Weylschen Postulats

$$T_{\mu \nu}=diag(\rho, -p, -p, -p), \; R_{\mu \nu}$$

ist der Ricci-Tensor.