Die Kinematik des starren Körpers

Wir behandeln im folgenden die Bewegung des starren Körpers. Es sei nur bemerkt, daß es den starren Körper in diesem Sinne in der Natur nicht gibt. Schon die einfachsten Tatsachen der speziellen Relativitätstheorie sagen dies aus: Ein ideal starrer Körper würde eine unendlich schnelle Signalübertragung gestatten, weil sich jede Bewegungsänderung, die durch Kraftwirkung an einem Ende hervorgerufen wird, am anderen Ende instantan auch wirksam werden muß. Wir behandeln im folgenden den starren Körper im Rahmen der Newtonschen Mechanik.

Der im angedeuteten Sinne idealisierte starre Körper ist nun dadurch charakterisiert, daß alle seine Punkte stets die gleiche relative Position zueinander einnehmen. Wir können den starren Körper also wie folgt parametrisieren. Zunächst zeichnen wir einen beliebigen Punkt $P$ dieses Körpers aus und machen ihn zum Ursprung ein kartesischen fest mit dem Körper verbundenen Koordinatensystems $\vec{e}_i$ mit $i=1,\ldots,3$ . Im Gegensatz dazu bezeichne $\vec{e}_i'$ ein in einem beliebigen Inertialsystem befestigtes kartesisches Dreibein. Wir bezeichnen das ungestrichene System als das körperfeste, das gestrichene als das raumfeste Bezugssystem.

Seien nun mit $\vec{r}_k \in \R^3$ ( $k=1,\dots,n$ ) die Koordinaten des Ortsvektors des Massepunktes $m_k$ relativ zum körperfesten und mit $\vec{r}_k'$ die Komponenten desselben Vektors bzgl. der raumfesten Bezugssystems bezeichnet. Seien ferner $\vec{x}'$ die Komponenten des körperfesten Ursprungs im raumfesten System. Dann gilt offenbar für den Ortsvektor $\vec{x}_k'$ des Massenpunkts $m_k$ im raumfesten Bezugssystem

$$\vec{x}_k'=\vec{x}'+\vec{r}_k'.$$ (1)

Da nun sowohl im raumfesten als auch im körperfesten Bezugssystem die Abstände der Massenpunkte erhalten bleiben, müssen $\vec{r}_k$ und $\vec{r}_k'$ durch eine (i.a. zeitabhängige) Drehung auseinander hervorgehen. Die Zeitabhängigkeit von $\vec{r}_k'$ rührt dabei nur von der Drehung her, denn im körperfesten Bezugssystem sind diese Vektoren per definitionem zeitunabhängig. Sei $\hat{D}$ die Drehmatrix. Dann gilt

$$\vec{x}_k'=\vec{x}'+\hat{D} \vec{r}_k, \; \frac{\d \vec{x}_k'}{\d... ...{r}_k = \frac{\d \vec{x}'}{\d t} +\frac{\d \hat{D}}{\d t} \hat{D}^t \vec{r}_k'.$$ (2)

Dabei haben wir die Orthogonalitätsbedingung $\hat{D}^t=\hat{D}^{-1}$ genutzt. Daraus ergibt sich

$$0=\frac{\d}{\d t}(\hat{D}^t \hat{D})= \frac{\d \hat{D}^t}{\d t} \... ...frac{\d \hat{D}}{\d t} \hat{D}^t \right)^t =-\frac{\d \hat{D}}{\d t} \hat{D}^t.$$ (3)

Die in (2) auf der rechten Seite auftretende Matrix ist also antisymmetrisch. Nun läßt sich jede antisymmetrische $3 \times 3$ -Matrix durch eine Linearkombination der total antisymmetrischen Levi-Civita-Symbole darstellen

$$(\hat{\epsilon}_i)_{kj}=\begin{cases}1 & \text{ f\uml {u}r } (ijk... ... (ijk) \text{ ungerade Permutation von } (123) \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}.$$ (4)

Wir können also schreiben

$$\frac{\d \hat{D}}{\d t} \hat{D}^t=-\omega_i' \hat{\epsilon}_i.$$ (5)

Es gilt dann

$$\frac{\d \hat{D}}{\d t} \hat{D}^t \vec{r}_k'=\vec{\omega}' \times \vec{r}_k'.$$ (6)

Dabei ist das Kreuzprodukt in kartesischen Koordinaten durch

$$(\vec{a} \times \vec{b})_i=\epsilon_{ijk} a_j b_k \Rightarrow \ve... ...in{pmatrix}a_2 b_3-a_3 b_2 \\ a_3 b_1 -a_1 b_3 \\ a_1 b_2-a_2 b_1 \end{pmatrix}$$ (7)

definiert. Damit ergibt sich aus (2)

$$\frac{\d \vec{x}_k'}{\d t} = \dot{\vec{x}}'+\vec{\omega}' \times \vec{r}_k'.$$ (8)

Um eine anschauliche Bedeutung des Vektors $\vec{\omega}'$ zu gewinnen, betrachten wir eine Rotation des Körpers um die Dreiachse. Dann ist

$$\hat{D}=\begin{pmatrix}\cos(\Omega t) & -\sin(\Omega t) & 0 \\ \s... ...Omega t) & 0 \\ \cos(\Omega t) & -\sin(\Omega t) &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ (9)

Für den Vektor $\vec{\omega}$ ergibt sich damit sofort

$$\frac{\d \hat{D}}{\d t} \hat{D}^{t} = -\Omega \hat{\epsilon}_3 \Rightarrow \vec{\omega}'=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ \Omega \end{pmatrix}.$$ (10)

Der Vektor $\vec{\omega}'$ ist also vom Betrag her die Winkelgeschwindigkeit der Drehung und zeigt in die Richtung der Drehachse. Das gilt für jeden Zeitpunkt, d.h. $\vec{\omega}'$ gibt stets Betrag und Richtung der Winkelgeschwindigkeit des Körpers im raumfesten Bezugssystem an.

Nun berechnen wir die kinetische Energie des Körpers. Aus (8) folgt

$$T=\sum_{k=1}^n \frac{m_k}{2} \left ( \frac{\d \vec{x}_k'}{\d t} \... ...(\vec{\omega}' \times \vec{r}_k) + (\vec{\omega}' \times \vec{r}_k')^2 \right].$$ (11)

Die drei in dieser Summe auftretenden Terme lassen sich nun leicht physikalisch deuten. Der erste Term ist offenbar die Translationsenergie des gesamten Körpers, der mittlere stellt den Anteil der Energie dar, der durch die Bewegung des Schwerpunktes

$$\vec{s}'=\frac{\sum_{k=1}^n m_k \vec{r}_k'}{m} m=\sum_{k=1}^n m_k$$ (12)

um den körperfesten Bezugspunkt zustandekommt. Dieser Term verschwindet, wenn man den Schwerpunkt zum Bezugspunkt des Körpers macht. Das ist, wie wir gleich noch näher begründen werden, für den Fall eine sinnvolle Wahl, daß sich der starre Körper frei in einem äußeren Kraftfeld bewegt. Der letzte Term in (11) schließlich beschreibt die intrinsische Rotationsenergie des Körpers, die durch die Rotation des Körpers um den festen Bezugspunkt $\vec{x}'$ zustandekommt.

Die Energie (11) läßt sich durch Einführung des Schwerpunkts noch wie folgt vereinfachen:

$$T=\frac{m}{2} \left( \frac{\d \vec{x}'}{\d t} \right)^2 + m \left... ...}' \times \vec{s}') + \sum_k \frac{m_k}{2} (\vec{\omega}' \times \vec{r}_k')^2.$$ (13)

Der Rotationsterm ist eine positiv definite quadratische Form bzgl. der Winkelgeschwindigkeit $\vec{\omega}'$ . Um die dazugehörige darstellende Matrix, die Komponenten des Trägheitstensors, zu gewinnen, schreiben wir diesen Term in Komponenten aus. Zunächst gilt

$$(\vec{r}_k' \times \vec{\omega}')(\vec{r}_k' \times \vec{\omega}')=\omega'{}^2 r_k'{}^2-(\vec{\omega}' \vec{r}_k')^2$$ (14)

und damit folgt

$$T_{\text{rot}}=\frac{1}{2} \vec{\omega}'{}^t \hat{\Theta}' \vec{\... ...text{ mit } \Theta'_{ij}=\sum_{k} m_k (r_k'{}^2 \delta_{ij} - r_{ki}' r_{kj}').$$ (15)

Setzen wir dies in (13) ein, ergibt sich für die gesamte kinetische Energie des starren Körpers, ausgedrückt im raumfesten Bezugssystem also

$$T=\frac{m}{2} \left ( \frac{\d \vec{x}'}{\d t} \right)^2 + m \fra... ...' \times \vec{s}') + \frac{1}{2} \vec{\omega}'{}^t \hat{\Theta'} \vec{\omega}'.$$ (16)

Im Falle eines nicht weiter eingeschränkten starren Körpers, der sich frei (evtl. in einem äußeren Potential) bewegen kann, wählt man am besten den Schwerpunkt als Bezugspunkt des körperfesten Koordinatensystems, so daß der mittlere Term in der vorigen Formel wegfällt:

$$\vec{s}'=0 \Rightarrow T=\frac{m}{2} \left ( \frac{\d \vec{x}'}{\d t} \right)^2+\frac{1}{2} \vec{\omega}'{}^t \hat{\Theta'} \vec{\omega}'.$$ (17)

Für einen freien Kreisel, der sich nicht in einem äußeren Potential befindet, ist der Ausdruck (17) forminvariant unter zeitunabhängigen Drehungen des körperfesten Bezugssystems, so daß nach dem Noethertheorem der dazugehörige kanonisch konjugierte Impuls, in dem Fall der Drehimpuls des Körpers, nämlich

$$\vec{L}'=\frac{\partial T}{\partial \vec{\omega}}=\hat{\Theta}' \vec{\omega}'$$ (18)

erhalten ist.