Rollpendel

Um nun einen Einblick in die Leistungsfähigkeit des Langrangeformalismus zu erhalten, wollen wir ein komplexeres Problem betrachten. Das Rollpendel lässt sich bereits mit einem Newtonschen Ansatz nicht mehr lösen.

Abbildung 2.4: Rollpendel

Bei diesem Pendel wird die Masse $m_1$ durch die Schwingung der Masse $m_2$ reibungsfrei mitbewegt. Die Masse $m_1$ hat die Koordinaten $x_1$ und $y_1$ , die Masse $m_2$ hat die Koordinaten $x_2$ und $y_2$ .
Die kinetische Energie der Masse $m_1$ lautet:

$$T_1 = \frac{m_1}{2}{\dot{x}_1}^2.$$

Wir wählen als Koordinate für $m_2$ wieder Polarkoordinaten. Nun müssen wir in unsere Überlegungen auch die Tatsache mit einbeziehen, dass sich $m_2$ sowohl senkrecht, als auch waagerecht bewegen kann. So ergibt sich für die kinetische Energie von $m_2$ :

$$T_2 = \frac{m_2}{2}({\dot{x}_2}^2+{\dot{y}_2}^2).$$

Nach Gleichung 1.7 dürfen wir jetzt um die gesamte kinetische Energie zu erhalten die Summe aus $T_1$ und $T_2$ bilden:

$$T = T_1 + T_2 = \frac{m_1}{2}{\dot{x}_1}^2+ \frac{m_2}{2}({\dot{x}_2}^2+{\dot{y}_2}^2).$$

Da nur die Masse $m_2$ potentielle Energie besitzt, lautet sie:

$$U = m_2 gy_2.$$

Daraus ergibt sich für die Lagrange-Funktion

$$L = T-U = \frac{m_1}{2}{\dot{x}_1}^2+\frac{m_2}{2}({\dot{x}_2}^2+{\dot{y}_2}^2)- m_2 gy_2.$$

Nun müssen noch die Zwangsbedingungen berücksichtigt werden: die $x$ -Koordinaten der beiden Massen hängen voneinander ab, die Höhe der Masse $m_2$ hängt vom Faden ab.

$$\begin{eqnarray}x_2 &=& x_1 + l\sin\theta \\ y_2 &=& -l\cos\theta \end{eqnarray}$$ (26a)

Unter Berücksichtigung dieser beiden Gleichungen sind nur noch zwei Koordinaten unabhängig, nämlich $x_1$ und $\theta$ .

$$L = \frac{m_1}{2}{\dot{x}_1}^2+\frac{m_2}{2}\bigg(\Big(\frac{d}{dt}\b... ...g)\Big)^2+ \Big(\frac{d}{dt}\big(-l\cos\theta\big)\Big)^2\bigg)+m_2gl\cos\theta$$

$$L = \frac{m_1}{2}{\dot{x}_1}^2+\frac{m_2}{2}\bigg(\Big(\dot{x}_1+l\do... ...ta}\cos\theta\Big)^2+ \Big(l\dot{\theta}\sin\theta\Big)^2\bigg)+m_2gl\cos\theta$$

$$L = \frac{m_1}{2}{\dot{x}_1}^2+\frac{m_2}{2}\bigg({\dot{x}_1}^2+2\dot... ...eta+ l^2{\dot{\theta}}^2\sin^2\theta}_{l^2\dot{\theta}^2}\bigg)+m_2gl\cos\theta$$

Nach Umformung des Terms $l^2{\dot{\theta}}^2\cos^2\theta+l^2{\dot{\theta}}^2\sin^2\theta$ in $l^2{\dot{\theta}}^2\big(\cos^2\theta+\sin^2\theta\big)$ können wir zur Vereinfachung den trigonometrischen Satz des Pythagoras $\sin^2 x+\cos^2 x = 1$ anwenden:

$$L = \frac{m_1}{2}{\dot{x}_1}^2+\frac{m_2}{2}\bigg({\dot{x}_1}^2+l^2{\dot{\theta}}^2+2\dot{x}_1l\dot{\theta}\cos\theta\bigg)+m_2gl\cos\theta$$

Jetzt erfolgt das partielle Differenzieren nach den beiden unabhängigen Koordinaten $x_1$ und $\theta$ . Gleichung $1$ :

$$\begin{eqnarray}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_1}... ... [.5cm] l\ddot{\theta} +\ddot{x}_1 \cos\theta + g\sin\theta &=& 0\end{eqnarray}$$

Gleichungen 2.17a und 2.17b bilden ein Gleichungssystem, das man lösen muss, um die Bewegungsgleichung zu erhalten. (vgl. [4], S. 28, 29) In Abbildung 2.5 ist ein möglicher Versuchsaufbau eines Rollpendels zu sehen. Leider scheiterten die von mir durchgeführten Versuche an einer unerwartet großen Reibung; Im Versuch kamen nie mehr als zwei Ausschläge des oberen Körpers zustande.

Abbildung 2.5: Versuchsaufbau Rollpendel (links: von vorne, rechts: von oben)

$$\includegraphics[width=7cm]{rollpendel2.eps}$$

$$\includegraphics[width=7cm]{rollpendel1.eps}$$