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Die Laplacetransformation

Man steht z.B. vor folgendem Problem:

\begin{displaymath}y'' - 2y'+2y = \cos t + 2\sin t \hspace{1cm}\mbox{mit } y(o) = 2, y'(0) = 4\end{displaymath}

Hier bietet sich die LT als Lösungsmethode an. Allgemein kann man diese Methode anwenden, wenn:

Definition: sei $f$ eine komplexwertige Funktion, die über jedem endlichen Intervall integriebar ist. Konvergiert das Integral, heißt die Funktion


\begin{displaymath}L[f(t)](s)=\int^\infty_0f(t)e^{-st}dt\end{displaymath}

die Laplacetransformierte von $f$.

Ein Beispiel:


\begin{displaymath}L(1) = \int^\infty_0dt e^{-st}=\frac{1}{p}\end{displaymath}

Für viele bekannte Funktionen sind die LT tabelliert. Die Umkehrtransformation der LT ist durch das Browwich Integral gegeben:


\begin{displaymath}f(t)=L^{-1}(F)=\frac{1}{2\pi i}\int^{c+i\infty}_{c-i\infty}dz F(z)e^{zt}\hspace{1cm}\mbox{mit } t>0\end{displaymath}

Der Integrationsweg verläuft hier im komplexen, man muß also die Methoden der Funktionentheorie anwenden.

Einige Recherregeln:



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