Die Laplacetransformation

Man steht z.B. vor folgendem Problem:

$$y'' - 2y'+2y = \cos t + 2\sin t \hspace{1cm}\mbox{mit } y(o) = 2, y'(0) = 4$$

Hier bietet sich die LT als Lösungsmethode an. Allgemein kann man diese Methode anwenden, wenn:

• es sich um eine lineare Dgl. mit konstanten Koeffizienten handelt
• die Anfangswerte bei 0 gegeben sind
• die rechte Seite der Gleichung eine bekannte LT hat

Definition: sei $f$ eine komplexwertige Funktion, die über jedem endlichen Intervall integriebar ist. Konvergiert das Integral, heißt die Funktion

$$L[f(t)](s)=\int^\infty_0f(t)e^{-st}dt$$

die Laplacetransformierte von $f$.

Ein Beispiel:

$$L(1) = \int^\infty_0dt e^{-st}=\frac{1}{p}$$

Für viele bekannte Funktionen sind die LT tabelliert. Die Umkehrtransformation der LT ist durch das Browwich Integral gegeben:

$$f(t)=L^{-1}(F)=\frac{1}{2\pi i}\int^{c+i\infty}_{c-i\infty}dz F(z)e^{zt}\hspace{1cm}\mbox{mit } t>0$$

Der Integrationsweg verläuft hier im komplexen, man muß also die Methoden der Funktionentheorie anwenden.

Einige Recherregeln:

• L[$\alpha$f(t)+$\beta$ g(t)](s)=$\alpha$L[f(t)](s)+$\beta$L[g(t)](s)
• L[f(ct)](s)=$\frac{1}{c}$L[f(t) $\left(\frac{s}{c}\right)$
• L[$e^{-ct}$f(t)](s)=L[f(t)](s+c)
• L[ $\int^t_0f(u)du](s)=\frac{1}{s}$L[f(t)](s)
• L $\left[\frac{f(t)}{t}\right]=\int^\infty_s$L[t](u)du
• L[ $t^n f(t)](s)=(-1)^n\frac{d^n}{ds^n}$L[f(t)](s)
• L[f'(t)](s)=sL[f(t)](s)-f(0)
• L[f''(t)](s)=s$^2$L[f(t)](s)-sf(0)-f'(0)