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Faltung

Seien die LT der Funktionen $g$ und $h$ bekannt, welche Funktion löst dann die Gleichung


\begin{displaymath}L(g)L(h)=L(f) ?\end{displaymath}

Dies führt zum Begriff der Faltung.

Definition: Seien $h$ und $g$ Funktionen auf $\Re$, dann ist das Faltungsprodukt $h*g$ durch


\begin{displaymath}(h*g)(x):=\int^\infty_{-\infty}h(x-x')g(x')dx'\end{displaymath}

definiert.

Die Laplace-Faltung ist definiert durch


\begin{displaymath}(h*g)(t):=\int^t_0h(t-t')g(t')dt'\end{displaymath}

Sie ist kommutativ und assoziativ:

\begin{displaymath}h*g=g*h\end{displaymath}


\begin{displaymath}(h*g)*f=h*(g*f)\end{displaymath}

Kommen wir nun zu unserem ursprüglichen Problem zurück: Wir suchten eine Lösung der Gleichung


\begin{displaymath}y'' - 2y'+2y = \cos t + 2\sin t \hspace{1cm}\mbox{mit } y(o) = 2, y'(0) = 4\end{displaymath}

Die Vorgehensweise:

a)
Transformation der Gleichung
b)
Auflösung der Gleichung nach L(y)
c)
Partialbruchzerlegung von L(y)
d)
Rücktransformation der einzelnen Teile

Nun konkret:


\begin{displaymath}a) L[y'']=s^2L[y]-sy(0)-y'(0)=s^2L(y)-2s-4\end{displaymath}


\begin{displaymath}L(y')=sL(y)-y(0)=sL(y)-2\end{displaymath}


\begin{displaymath}L[\cos t] =\frac{s}{s^2+1}, L[\sin t]=\frac{1}{s^2+1}\end{displaymath}

Also:

\begin{displaymath}s^2L[y]-2s-4-2s[y]+4+2L[y]=\frac{2}{s^2+1}+\frac{2}{s^2+1}\end{displaymath}


\begin{displaymath}b) L[y](s^2-2s+2)=\frac{s}{s^2+1}+\frac{2}{s^2+1}+2s=\frac{s+2+2s(s^2+1)}{s^2+1}\end{displaymath}


\begin{displaymath}\Rightarrow L[y]=\frac{2s^3+3s+2}{(s^2+1)(s^2-2s+2)}\end{displaymath}


\begin{displaymath}c) L[y]=\frac{s}{s^2+1}+\frac{s+2}{s^2-2s+2}\end{displaymath}


\begin{displaymath}d) \frac{s+2}{(s-1)^2+1}=\frac{s-1}{(s-1)^2+1}+\frac{3}{(s-1)^2+1}=L[e^t\cos
t]+ 3L[e^t\sin t]\end{displaymath}

Man erhält:


\begin{displaymath}y=\cos t +e^t\cos t +3e^t\sin t\end{displaymath}




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