Faltung

Seien die LT der Funktionen $g$ und $h$ bekannt, welche Funktion löst dann die Gleichung

$$L(g)L(h)=L(f) ?$$

Dies führt zum Begriff der Faltung.

Definition: Seien $h$ und $g$ Funktionen auf $\Re$, dann ist das Faltungsprodukt $h*g$ durch

$$(h*g)(x):=\int^\infty_{-\infty}h(x-x')g(x')dx'$$

definiert.

Die Laplace-Faltung ist definiert durch

$$(h*g)(t):=\int^t_0h(t-t')g(t')dt'$$

Sie ist kommutativ und assoziativ:

$$h*g=g*h$$

$$(h*g)*f=h*(g*f)$$

Kommen wir nun zu unserem ursprüglichen Problem zurück: Wir suchten eine Lösung der Gleichung

$$y'' - 2y'+2y = \cos t + 2\sin t \hspace{1cm}\mbox{mit } y(o) = 2, y'(0) = 4$$

Die Vorgehensweise:

a)

Transformation der Gleichung

b)

Auflösung der Gleichung nach L(y)

c)

Partialbruchzerlegung von L(y)

d)

Rücktransformation der einzelnen Teile

Nun konkret:

$$a) L[y'']=s^2L[y]-sy(0)-y'(0)=s^2L(y)-2s-4$$

$$L(y')=sL(y)-y(0)=sL(y)-2$$

$$L[\cos t] =\frac{s}{s^2+1}, L[\sin t]=\frac{1}{s^2+1}$$

Also:

$$s^2L[y]-2s-4-2s[y]+4+2L[y]=\frac{2}{s^2+1}+\frac{2}{s^2+1}$$

$$b) L[y](s^2-2s+2)=\frac{s}{s^2+1}+\frac{2}{s^2+1}+2s=\frac{s+2+2s(s^2+1)}{s^2+1}$$

$$\Rightarrow L[y]=\frac{2s^3+3s+2}{(s^2+1)(s^2-2s+2)}$$

$$c) L[y]=\frac{s}{s^2+1}+\frac{s+2}{s^2-2s+2}$$

$$d) \frac{s+2}{(s-1)^2+1}=\frac{s-1}{(s-1)^2+1}+\frac{3}{(s-1)^2+1}=L[e^t\cos t]+ 3L[e^t\sin t]$$

Man erhält:

$$y=\cos t +e^t\cos t +3e^t\sin t$$