Stabilitätskriterium für Spiegel-Resonatoren

Ein Spiegel-Resonator besteht aus zwei auf der optischen Achse liegenden Spiegeln S₁ und S₂. Die Spiegel weisen einen Abstand L auf und haben die Krümmungsradien R₁ und R₂. Ein Spiegel-Resonator heißt optisch stabil, wenn ein paraxialer Lichtstrahl im Resonator auch nach beliebig vielen Reflexionen an den Spiegeln nicht verläßt. Zur Beurteilung der Stabilität eines Spiegel-Resonators, betrachte man den Verlauf eines Lichtstrahls, der einen vollständigen Umgang im Resonator macht. Der Vorgang in Matrixschreibweise:

$$\vec{r}_2=\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\ -1/f_1 &... ...f_1 & 1\end{array}\right)}_{\mbox{1.Halblinse links}}\vec{r}_1$$

Für die Beschreibung dieser Transformation und der Stabilitätskriterien eignen sich die Resonatorparameter g_i:

$$g_i = 1 - L/R_i = 1 - L/2f_i;\hspace{0.5cm}i=1,2$$

Daraus folgt für die Resonatormatrix M_R:

$$\vec{r}_2 = M_R\vec{r}_1\hspace{0.3cm}\mbox{mit}\hspace{0.3cm... ...-1) & 2g_2L\\ 2g_1(g_1g_2-1)/L & (2g_1g_2-1)\end{array}\right)$$

Die Moden des Spiegel-Resonators erhält man aus der Eigenwert-Bedingung:

$$M_R\vec{r}_k=\lambda_k\vec{r}_k; \hspace{0.3cm}k = a,b$$

oder

$$\left[\left(\begin{array}{cc}(2g_1g_2-1) & 2g_2L\\ 2g_1(g_1g_... ...right]\cdot\left(\begin{array}{c}r_k\\ r'_k\end{array}\right)=0$$

Die Eigenwerte $\lambda$ der Resonatormatrix M_R lassen sich durch Nullsetzen der Determinante der Matrix bestimmen:

$$\vert M_R-\lambda E\vert = 0 \hspace{0.3cm}\mbox{ mit der Einheitsmatrix }E=\left( \begin{array}{cc}1&0\\ 0&1\end{array}\right)$$

Man erhält die Lösungen:

$$\lambda_{a,b}=(2g_1g_2-1)\pm[(2g_1g_2-1)^2-1]^{1/2}$$

Die Eigenvektoren $\vec{r}_a$ und $\vec{r}_b$ sind definiert durch die Bedingungen:

$$M_R\vec{r}_a=\lambda_a\vec{r}_a\hspace{0.3cm}\mbox{ und }\hspace{0.3cm}\mbox{M}_R\vec{r}_b=\lambda_b\vec{r}_b.$$

Die beiden Eigenvektoren $\vec{r}_a$ und $\vec{r}_b$ bilden eine Basis, das bedeutet daß ein beliebiger Strahlvektor $\vec{r}_i$ als Linearkombination dieser beiden Vektoren dargestellt werden kann:

$$\vec{r}_1=C_a\vec{r}_a+C_b\vec{r}_b$$

Die Fortpflanzung der Lichtstrahlen im Spiegel-Resonator werden also im wesentlichen bestimmt durch die Eigenwerte $\lambda_{a,b}$. Wenn kein Strahl den Resonator verläßt, ist er stabil, dies ist erfüllt für

$$\vert\lambda_a\vert=\vert\lambda_b\vert=1 \hspace{0.3cm}\mbox{ mit }\hspace{0.3cm}\vert 2g_1g_2-1\vert<1$$

Daraus ergibt sich das Stabilitätskriterium:

• optisch stabil: 0<g₁g₂<1
• optisch instabil: g₁g₂<0 oder g₁g₂ >1