Zweiniveau-Systeme

Eine Grundaussage der Quantenmechanik ist, daß sich jedes physikalische System nur in bestimmten Zuständen, die man Eigenzustände nennt, befinden kann. Jedem dieser Zustände ist eine Energie zugeordnet, deshalb spricht man auch von Energieniveaus.

 

Abbildung: Die Energieniveaus haben den Abstand $E_n=-\frac{R_y}{n^2}$. Dabei ist R_y = 13,6 eV die Rydbergkonstante, g_i die Entartungsgrade und n das betrachtete Niveau.

Anmerkung: Die Energien hängen von der Hauptquantenzahl n ab. Zu jedem Wert von n können die Quantenzahlen l und m durch den Bereich:

$$l = 0, 1, 2,\dots ,(n-1)$$

laufen, daher gibt es zu jedem Wert von n

$$\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)=n^2$$

Kombinationen der Quantenzahl, die zur gleichen Energie führen. Es gibt also n² verschiedene Eigenfunktionen die zu gleichen Eigenwerten des Hamiltonoperators gehören. Tritt ein solcher Fall ein, nennt man das System entartet.

Die Besetzung dieser Energieniveaus gehorcht der Boltzmann-Verteilung, daß bedeutet, höhere Energieniveaus sind entsprechend der Boltzmann-Verteilung weniger wahrscheinlich besetzt als die tieferen.

Die Boltzmann-Verteilung bestimmt das Verhältnis der Besetzungsdichten N_i:

$$\frac{N_2}{N_1}=\frac{g_2}{g_1} \exp \left( -\frac{E_2-E_1}{kT}\right), \hspace{1cm} T>0$$