Bedingung für die Strahlungsverstärkung

Nachdem gezeigt wurde, wie elektromagnetische Strahlung mit dem Lasermedium wechselwirkt, soll nun gezeigt werden unter welchen Bedingungen es zur Strahlungsverstärkung kommt. Bei einem Laser entscheidet die Photonenrate, ob ein einfallendes Strahlungsfeld verstärkt wird oder nicht. Die Photonenrate setzt sich aus den pro Zeiteinheit durch spontane und induzierte Emission gewonnenen Photonen sowie aus den pro Zeiteinheit durch induzierte Absorption verlorenen Photonen zusammen:

$$\frac{d\mbox{\~{n}}}{dt}=A_{21}N_2+u(\nu)(B_{21}N_2-B{12}N_1)$$

mit

g₁B₁₂=g₂ B₂₁

folgt:

$$\frac{d\mbox{\~{n}}}{dt}=A_{21}N_2+u(\nu)B_21(N_2-\frac{g_2}{g_1}N_1)$$ (1)

Im thermodynamischen Gleichgewicht ist die Besetzung der Energieniveaus der Atome durch die Boltzmann-Verteilung bestimmt. Damit lautet Gleichung (1):

$$\frac{d\mbox{\~{n}}}{dt}=A_{21}N_2+u(\nu)B_{21}N_2(1-e^{\frac{h\nu}{kT}})$$ (2)

Das bedeutet, daß ein beliebiges Strahlungsfeld abgeschwächt wird. Bei der Besetzung der Niveaus im Gleichgewicht findet also Absorption statt. Wenn man annimmt, daß das einfallende Strahlungsfeld eine Schwarzkörperstrahlung ist, gilt das Planck' sche Strahlungsgesetz. Setzt man dieses und die Beziehung zwischen den Einsteinkoeffizienten der spontanen und der induzierten Emission in Gleichung (2) so folgt:

$$\frac{d\mbox{\~{n}}}{dt}=0$$

die Zahl der Photonen bleibt konstant. Die Energien hängen von der Hauptquantenzahl n ab. Zu jedem Wert von n können die Quantenzahlen l und m durch den Bereich:

$$l = 0, 1, 2,\dots ,(n-1)$$

laufen, daher gibt es zu jedem Wert von n

$$\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)=n^2$$

Kombinationen der Quantenzahl, die zur gleichen Energie führen. Es gibt also n² verschiedene Eigenfunktionen die zu gleichen Eigenwerten des Hamiltonoperators gehören. Tritt ein solcher Fall ein, nennt man das System entartet Strahlungsverstärkung zu erreichen, muß erreicht werden, daß ñ zunimmt, also:

$$\frac{d\mbox{\~{n}}}{dt}>0$$

damit dies erfüllt wird muß

$$\frac{N_2}{g_2}>\frac{N_1}{g_1}$$ (3)

gelten. Dies ist die erste Laserbedingung

Um die zweite Laserbedingung abzuleiten, untersucht man zunächst das Verhältnis zwischen induzierter und spontaner Emission. Mit Hilfe von

dW^sp₂₁=A₂₁dt

und

$$dW^{ind}_{21} = u(\nu)B_{21} dt$$

läßt sich das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten von induzierter zu spontaner Emission bilden:

$$dW^{ind}_{21}/dW^{sp}_{21} = \frac{B_{21} u(\nu)dt}{A_{21}dt... ...cdot h(\nu)} \Rightarrow dW^{ind}_{21} / dW^{sp}_{21} = n(\nu)$$ (4)

Das Verhältnis der Übergangsraten ist also gleich der Anzahl n$(\nu)$ Photonen pro Zeit. Bei hochfrequenten Prozessen ($h\nu >>kT$) gilt:

$$\frac{dW_{21}^{ind}}{dW^{sp}_{21}} \approx e^{-\frac{h\nu}{kT}}<< 1$$

Es überwiegt die spontane Emission - je höher die Frequenz $\nu$ist, desto schwieriger wird es stimulierte Emission zu erreichen. Daher ist es so schwer, Laser zu entwickeln, die Röntgenstrahlung emittieren. Die spontane Emission hat keine Beziehung zur einfallenden Strahlung. Sie überlagert sich der induzierten Emission als inkohärentes Rauschen. Es muß also dafür gesorgt werden, daß die kohärente stimulierte Emission die inkohärente spontane Emission überwiegt. Mit Gleichung (4) heißt das:

$$n/\mbox{Mode} > 1$$

Als zweite Laserbedingung hat man also Rückkopplung und die Auswahl eines möglichst schmalen Frequenzbandes zu berücksichtigen. Erst dann wird, zumindest in einer Mode, eine effektive Verstärkung durch induzierte Emission möglich.