Schwellenbedingung für die Laseroszillation

Der Laser schwingt, wenn die Verstärkung des Lichtfeldes durch induzierte Emission stärke ist als die Verluste im Resonator. Durchläuft eine Lichtwelle das Lasermedium, so ändert sich ihre Intensität I auf der Strecke dz um

$$dI = \alpha I dz$$ (5)

Also ist

$$I(z)=I_0e^{-\alpha z}$$

Die Proportionalitätskonstante $\alpha$ bezeichnet man als Absorptionskoeffizient des Mediums. Die Absorption sei bedingt durch optische Übergänge zwischen zwei Niveaus 1 und 2. Es gilt

$$I = u(\nu) c'$$

Daraus folgt

$$\frac{dI}{dz}=\frac{dI}{dt}\frac{dt}{dz} = \frac{1}{c'}\frac{dI}{dt} = \frac{1}{c'}c'\frac{du(\nu)}{dt}$$ (6)

Andererseits gilt aber:

$$\frac{du}{dt}=h\nu\frac{dN_1}{dt}-h\nu\frac{dN_2}{dt}$$

Da nun $dN_1/dt=-B_{12}N_1n(\nu)$ und $dN_2/dt=-B_{21}N_2n(\nu)$ gilt, folgt:

$$\frac{du}{dt}=h\nu B_{21}(N_2-N_1)u(\nu)$$

Setzt man dies in Gleichung (6) ein und ersetzt $u(\nu)$ durch I/c'ergibt dies

$$\frac{dI}{dz}=\frac{h\nu}{c'}B_{21}(N_2-N_1)I(z)$$

Ein Vergleich mit (5) zeigt:

$$\alpha = -\frac{h\nu}{c'}B_{21}(N_2-N_1)$$

Setzt man $g(\nu)$ als die normierte Intensitätsverteilung, erhält man:

$$\alpha (\nu)=-\frac{h(\nu)}{c'}B_{21}(N_2-N_1)g(\nu)$$

Die Lichtintensität im Resonator nimmt durch Beugung und Durchtritt durch die Spiegel um den Faktor $\delta = R_1R_2\beta^4_{lm}$ ab. Dabei ist $\beta$ der Faktor mit dem sich die Amplitude des Lichts beim einmaligen Durchgang durch den Resonator ändert und R_i bezeichnet das Reflexionsvermögens des Spiegels.

Damit der Laser schwingt, müssen die Verluste kleiner sein als die Verstärkung durch das Lasermedium. Die Laserwirkung setzt ein, wenn die Größe der Inversion N₂-N₁ einen kritischen Wert, den Schwellwert

$$(N_2-N_1)=-\mbox{In}\frac{(R_1R_2\beta^4_{lm})}{\frac{2h\nu}{c'}B_{21}g(\nu)d'}$$

überschreitet (d': Länge der Kapillare).