Klassische Elektrodynamik

Die moderne Physik hat gezeigt, daß ein rein phänomenologischer Standpunkt in der klassischen Elektrodynamik als nicht mehr ausreichend als Zugang zu einer Theorie der Punktteilchen anerkannt werden kann. Vielmehr muß von allgemeingültigen Symmetrieüberlegungen ausgegangen werden, d.h. für die klassische Elektrodynamik, daß sie in jedem Inertialsystem im Sinne der speziell relativistischen Physik forminvariant formuliert sein muß. Mathematisch steht dazu das Mittel der Tensorrechnung über dem Minkowskiraum, also dem $\R^4$ mit einer Metrik der Signatur (1,3), zur Verfügung.

In der Dreierformulierung des 19. Jahrhunderts können die elektromagnetischen Feldgrößen durch die vier Maxwellgleichungen definiert werden, wobei wir uns auf den Fall des Vakuums spezialsieren. Sie lauten im nichtrationalisierten cgs-System (Gaußsches Maßsystem):

$$\begin{split}\rot \vec{E}+\frac{\partial \vec{B}}{c \partial ... ..., \ \div\vec{B}=0, \quad & \div\vec{E}=4 \pi \rho. \end{split}$$ (1)

Dabei bezeichnen $\vec{E}$ und $\vec{B}$ elektrisches bzw. magnetisches Feld und $\rho$ und $\vec{j}$ die Ladungs- bzw. Stromdichte. Es fällt bei dieser Schreibweise der Maxwellgleichungen sofort die Rolle auf, die in dieser Theorie der Materie zugewiesen wird: Sie taucht als Inhomogenitäten in den Feldgleichungen in Form von Ladungs- und Stromdichte auf. Das Feldsystem kann also nur dann als abgeschlossenes System gelten, wenn es sich um den ladungs- und stromfreien Raum, das sog. freie Feld, handelt. Eine nähere Begründung dieses Sachverhalts wird sich weiter unten ergeben.

Um nun zu einer kovarianten Formulierung zu gelangen, führen wir die elektrodynamischen Potentiale ein. Die dritte Maxwellgleichung, die die Quellenfreiheit des Magnetfeldes beschreibt, besagt, daß

$$\vec{B} =\mathrm{rot} \vec{A}$$ (2)

sein muß. $\vec{A}$ ist aber nicht eindeutig, sondern nur bis auf den Gradienten eines Skalarfeldes bestimmt. Man kann also über $\vec{A}$ noch näher verfügen. Setzen wir (2) in die 1. Maxwellgleichung ein, so folgt

$$\mathrm{rot}\left (\vec{E} +{\frac{\partial\vec{A} }{c\partial t}} \right ) = 0.$$ (3)

Die Rotationsfreiheit eines Feldes besagt, daß dieses ein skalares Potential besitzt:

$$\vec{E} +{\frac{\partial\vec{A} }{c\partial t}} = -\vec{\nabla}\varphi$$ (4)

Setzen wir nun (2) und (4) in die zweite Maxwellgleichung ein, folgt unter Ausnutzung der Formel

$$\mathrm{rot} \; \mathrm{rot} \vec{A} =\vec{\nabla}\div\vec{A} -\Delta\vec{A}$$ (5)

die Bestimmungsgleichung

$$\vec{\nabla}\left ({\rm\div }\vec{A} +{\frac{\partial\varphi }{c\... ...\frac{\partial^{2} \vec{A} }{c^{2} \partial t^{2} }} +{\frac{4\pi }{c}}\vec{j}.$$ (6)

Nun ist A aber nur bis auf einen Gradienten bestimmt, d.h. wir können statt A auch

$$\vec{A}' =\vec{A} -\vec{\nabla}\chi$$ (7)

benutzen. Daraus folgt dann

$$\vec{E} = -{\frac{\partial\vec{A} }{c\partial t}} -\vec{\nabla}\v... ... \right ) \Rightarrow {\varphi'} =\varphi +{\frac{\partial\chi }{c\partial t}}.$$ (8)

(7) und (8) bezeichnet man als Eichtransformation und $\chi$ als das zu dieser gehörige Eichfeld. Die Maxwellgleichungen sind eichinvariant. Wir können nun bei gegebenen Feldern $\vec{A}$ und $\varphi$ über $\chi$ so verfügen, daß

$${\rm\div } \pvec{A} +{\frac{{\partial\varphi'} }{\partial t}} = 0.$$ (9)

Diese Festlegung des Eichfeldes $\chi$ bezeichnet man als Lorentzeichung. Dabei ist aber zu beachten, daß nach der Festlegung der Eichung die Gleichungen nicht mehr eichinvariant sind. Wir werden weiter unten wieder zu einer eichinvarianten Formulierung zurückkehren. Setzt man nun (7)-(8) in (9) ein, findet man als Bestimmungsgleichung für $\chi$ :

$$\Box \chi = -{\rm\div } \vec{A} -{\frac{\partial\varphi }{c\partial t}} \quad \Box ={\frac{\partial^{2} \varphi }{c^{2} \partial t^{2} }} -\Delta.$$ (10)

Das ist eine inhomogene Wellengleichung, die mit Hilfe der unten hergeleiteten Greenfunktion dieser Gleichung gelöst werden kann, d.h. die Lorentzeichung existiert. Wir nehmen nun im folgenden an, $\vec{A}$ und $\varphi$ genügten der Lorentzeichung. Dadurch läßt sich (5) vereinfachen:

$$\Box\vec{A} ={\frac{4\pi }{c}}\vec{j}$$ (11)

Diese Gleichung ist bereits eine wesentlich übersichtlichere Form der ersten drei Maxwellgleichungen. Wir müssen noch die 4. Maxwellgleichung erfüllen, indem wir (4) einsetzen:

$${\rm\div } \vec{E} = 4\pi \rho = -\Delta \varphi -{\frac{\partial}{c \partial t}} {\rm\div } \vec{A} \Rightarrow \Box\varphi =4\pi \rho.$$ (12)

(11) und (12) haben den Vorteil, daß die drei Komponenten von $\vec{A}$ und $\varphi$ einer einheitlichen Gleichung genügen. Es liegt nun nahe, die vierdimensionalen Vektoren

$$\uvec{A} =\left (\begin{array}{c}\varphi \\ \vec{A} \end{array}\... ...), \quad \uvec{J} =\left (\begin{array}{c}c\rho \\ \vec{j} \end{array}\right )$$ (13)

zu definieren. Dann schreiben sich (11) und (12) in der Form

$$\Box\uvec{A} ={\frac{4\pi }{c}} \uvec{J}.$$ (14)

Dies wird nun aber zu einer kovarianten Vektorgleichung, wenn man den Vierervektor

$$\uvec{x} =\left (\begin{array}{c}ct \\ \vec{x} \end{array}\right )$$ (15)

und die Metrik

$$\uvec{G} = \mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$$ (16)

einführt, also Zeit und Raum zu einem vierdimensionalen Vektor im Raum $\R^{(1;3)}$ zusammenfaßt. Dann schreibt sich nämlich (14) in der Einsteinschen Schreibweise des kovarianten Tensorkalküls:

$$\partial^{a} \partial_{a} A^{b} = \frac{4\pi }{c} J^{b}.$$ (17)

Dabei ist

$$\partial^{a} ={\frac{\partial}{\partial x_{a} }}, \quad \partial_{a} ={\frac{\partial}{\partial x^{a} }}, \quad x_{a} =g_{ab} x^{b}$$ (18)

Die Lorentztransformationen sind nun diejenigen regulären linearen Abbildungen, unter denen die (1,3)-Bilinearform invariant ist. Diese Abbildungen definieren eine Gruppe, die O(1,3), die Isometriegruppe des $\R^{(1;3)}$ . Für eine Lorentztransformation $\uvec{L}$ gilt

$$(\uvec{L} \uvec{x} )^{t} \uvec{G} (\uvec{L} \uvec{y} ) =\uvec{x}^... ...{x}^{t} \uvec{G} \uvec{y} \Rightarrow \uvec{L}^{t} \uvec{G} \uvec{L} =\uvec{G}.$$ (19)

Damit sind die fundamentalen Symmetrien der Elektrodynamik bekannt: Nämlich die Lorentztransformationen, die sich auf die Raum- Zeit-Koordinaten beziehen, also die Struktur von Raum und Zeit bestimmen. Das Viererpotential des elektromagnetischen Feldes transformiert sich wie die Raum-Zeitkoordinaten, stellt also einen Vektor dar. Eine weitere Symmetrie, eine dynamische Symmetrie, ist durch die Eichinvarianz gegeben.

Wir formulieren nun die physikalisch relevanten Größen, nämlich die Felder, kovariant, also im Rahmen des Tensorkalküls, wobei gleichzeitig die Eichinvarianz, die wir oben zugunsten der Lorentzeichung fallen gelassen haben, wieder hergestellt wird. Ein Blick auf die Maxwellgleichungen und die obige Dreierformulierung der Potentiale zeigt, daß dafür nur der antisymmetrische Tensor

$$F^{ab} =\partial^{a} A^{b} -\partial^{b} A^{a} = A^{b,a} -A^{a,b}$$ (20)

in Frage kommt. Die ursprünglichen Felder $\vec{E}$ und $\vec{B}$ des Dreierformalismus erhält man daraus durch Aufspalten in Raum- und Zeitkomponenten. Da ein antisymmetrischer Tensor im vierdimensionalen Raum sechs unabhängige Komponenten enthält, nennt man ihn auch Sechservektor. Die erwähnte Aufspaltung in Raum und Zeit ergibt

$$F^{0\alpha} ={\frac{\partial A^{\alpha} }{c\partial t}} +{\frac{\... ...{\alpha} }{\partial x^{\beta} }} = -\epsilon_{\alpha \beta \gamma } B_{\gamma}.$$ (21)

Dabei laufen griechische Indizes von $1$ bis $3$ , d.h. die Felder $\vec{E}$ und $\vec{B}$ sind im Viererformalismus durch den antisymmetrischen Feldstärketensor (Sechservektor) $F^{ab}$ gegeben. Dieser Tensor ist eichinvariant, wie es für physikalisch relevante Größen sein muß. Auch die Maxwellgleichungen lassen sich eichinvariant im Viererformalismus vermittels des Feldstärketensors ausdrücken. Dazu gehen wir auf die Gleichungen (6) und (12) zurück. Danach gilt

$$\begin{split}{\frac{4\pi }{c}} J^{\alpha} &=-\partial^{\alpha... ...pha} \partial_{\alpha} A^{0} =\partial_{a} F^{a 0}, \end{split}$$ (22)

d.h. man kann die Maxwellgleichungen in eichinvarianter Form anschreiben:

$${\frac{4\pi }{c}} J^{a} =\partial_{b} F^{ba}.$$ (23)

Weiter muß man aber noch die Integrabilitätsbedingung, d.h. die Darstellbarkeit des Vierertensors $\uvec{F}$ als Viererrotation eines Vektorpotentials vierdimensional formulieren. Diese Integrabilitätsbedingung ist durch die beiden homogenen Maxwellgleichungen gegeben. Betrachtet man diese, erkennt man, daß der dualisierte Tensor

$$(F{\rm\dag })^{ab} ={\frac{1}{2}} \epsilon^{abcd} F_{cd} =\epsilon^{abcd} (\partial_{c} A_{d} )$$ (24)

die geeignete Größe zur Formulierung der Integrabilitätsbedingung ist. Die rechts stehende Formulierung mit Hilfe des Vektorpotentials zeigt, daß die Integrabilitätsbedingung gegeben ist durch

$$\partial_{a} (F{\rm\dag })^{ab} = 0.$$ (25)

(23) und (25) stellen also die eichinvariante relativistisch kovariante Formulierung der klassischen Elektrodynamik dar.

Um nun die Symmetrieprinzipien der Mechanik auf die Feldtheorie übertragen zu können, benötigen wir die Lagrangeformulierung bzw. das Hamiltonsche Prinzip für Felder. Die Verallgemeinerung des Hamiltonschen Prinzips für die Punktmechanik ergibt sich nun wie folgt:

Statt einer Lagrangefunktion $L$ wird für die Felder eine Lagrangedichte $\Lag$ eingeführt. Dafür, daß die Feldgleichungen kovariant sind, ist es hinreichend (aber nicht notwendig!), daß $\Lag$ eine skalare Viererdichte ist. Das Hamiltonprinzip für Felder besagt in Analogie zum Hamiltonprinzip der Mechanik, daß das Wirkungsintegral

$$I=\int_{V^{(4)} } \Lag(\uvec{A}, \partial_{\mu} \uvec{A} , \uvec{X} ) d^{4} \uvec{X}$$ (26)

unter den üblichen Randbedingungen stationär werden muß, d.h.

$$\delta I=0 \quad \delta \uvec{X} = 0, \quad \delta \uvec{A} = 0\vert _{\uvec{X}\in \partial V^{(4)} }.$$ (27)

Die Feldgleichungen ergeben sich daraus durch Bildung der Variation unter dem Integral

$$\delta I=\int_{V^{(4)} } \left [{\frac{\partial \Lag}{\partial A^... ...c{\partial \Lag}{\partial A^{a,b} }} \delta A^{a,b} \right ] d^{4} \uvec{X} =0.$$ (28)

Da die Feldvariation mit der Differentiation vertauschbar ist und der vierdimensionale Gaußsche Satz angewandt werden kann, gilt die Formel der partiellen Integration

$$\int_{V^{(4)}} ( \partial_{b} \Phi ) \Psi^{b} d^{4} \uvec{X} =\in... ...\Phi\Psi^{b} dS_{b} -\int_{V^{(4)} } \Phi \partial_{b} \psi^{b} d^{4} \uvec{X}.$$ (29)

Daraus folgt nun wegen der Vertauschbarkeit der Feldvariation mit den partiellen Ableitungen nach den Raum-Zeit-Koordinaten:

$$\begin{split}\int_{V^{(4)}} {\frac{\partial \Lag}{\partial A^... ...Lag}{\partial A^{a,b}} \delta A^{a} d^{4} \uvec{X}, \end{split}$$ (30)

letzteres weil die Feldvariationen auf dem Rand des vierdimensionalen Volumens beim Hamiltonschen Prinzip verschwinden sollen. Setzt man dies in das obige Wirkungsintegral ein, folgt

$$\delta I =\int_{V^{(4)} } \left [{\frac{\partial \Lag}{\partial A... ...} {\frac{\partial \Lag}{\partial A^{a,b} }} \right ]\delta A^{a} d^{4} \uvec{X}$$ (31)

Da die $\delta A^{a}$ unabhängig voneinander sind, folgt aus dem Fundamentallemma der Variationsrechnung, daß die Feldgleichungen durch die Euler-Lagrangegleichungen

$$\partial^{b} \left ({\frac{\partial \Lag}{\partial A^{a,b} }} \right )-{\frac{\partial \Lag}{\partial A^{a} }} = 0$$ (32)

gegeben sind. Um die sich aus diesem Formalismus ergebenden weiteren Folgerungen verwerten zu können, müssen die Feldgleichungen (23) der Elektrodynamik mit (32) beschreibbar sein. Wir haben die dazu passende Lagrangedichte $\Lag$ aufzufinden. Es ist klar, daß $\Lag$ nur bis auf einen konstanten Faktor durch (32) und die Maxwellgleichungen bestimmt sein kann. Das Vorzeichen des Faktors kann dadurch gefunden werden, daß bei linearen Feldgleichungen die Feldgradienten eine quadratische Form in $\Lag$ bilden. Das Vorzeichen ist so zu wählen, daß Terme, die der kinetischen Energie der Mechanik entsprechen, also die Zeitableitungen der Felder enthalten, mit positivem Vorzeichen erscheinen. Der Absolutwert des Faktors legt, wie sich weiter unten zeigen wird, die Verbindung des elektromagnetischen zum mechanischen Maßsystem fest. Wir haben hier die nichtrationalen Gaußschen cgs-Einheiten gewählt, so daß ein Faktor $1/(4 \pi)$ in $\Lag$ auftaucht. Die Feldgleichungen (23) schreiben sich unter Verwendung von (20) wie folgt:

$${\frac{1}{4\pi }} \partial^{b} (A_{b,a} -A_{a,b} ) ={\frac{1}{c}}... ...c{\partial \Lag}{\partial A^{a,b} }} = -{\frac{\partial \Lag}{\partial A^{a} }}$$ (33)

Man sieht durch einfache Integration, daß sich $\Lag$ aus den beiden Summanden

$$\Lag=\Lag_{0} + \Lag_{1}, \quad \Lag_{0} =-{\frac{1}{16\pi }} F^{ab} F_{ab} F^{ab} =\partial^{a} A^{b} -\partial^{b} A^{a} , \quad \Lag_{1} ={\frac{1}{c}} J_{a} A^{a}$$ (34)

zusammensetzt. Das ist die gesuchte Lagrangedichte des elektromagnetischen Feldes. Das freie Feld enthält nur $\Lag_0$ . Die Stromdichte $J$ stellt dabei ein äußeres nicht im Hamiltonprinzip zu variierendes Feld dar, d.h. $J$ führt die Raum-Zeitkoordinaten explizit in die Lagrangedichte ein. Das ist dadurch verständlich, daß es sich um die Ankopplung der Teilchen, die sich in der Elektrodynamik als Viererstrom äußern, an das elektromagnetische Feld handelt.

Als nächster Schritt bei der Analyse der Struktur der Lagrangetheorie der Felder, ist die Klärung der Frage, welche Lagrangedichten $\Lag'$ zu (34) äquivalent sind, d.h. welche Lagrangedichten zu denselben Feldgleichungen führen. Diese Frage läßt sich am schnellsten beantworten, wenn man die obige Rechnung, die vom Hamiltonprinzip zu den Lagrangegleichungen führten, betrachtet. Es folgt, daß man zu $\Lag$ die Divergenz eines beliebigen Feldes, das nur von den Feldern $A$ und explizit von den Raum-Zeit-Koordinaten abhängt, addieren kann:

$$\Lag =\Lag + \partial^{k} \Omega_{k} \quad \Omega_{k} =\Omega_{k} (\uvec{A} ,\uvec{X} ).$$ (35)

Es folgt nämlich

$$\delta \Lag =\delta \Lag +\delta (\partial^{k} \Omega_{k} ) =\del... ...c{\partial\Omega_{k} }{\partial A^{a} }} \delta A^{a} \right ) dS^{k} =\delta I$$ (36)

Dabei haben wir den vierdimensionalen Gaußschen Satz benutzt, wobei das Flächenintegral verschwindet, weil die Feldvariationen definitionsgemäß auf dem Rand des betrachteten Gebiets verschwinden.

Auch die Eichtransformationen ändern die Lagrangedichte in dieser Weise ab. Setzt man nämlich die Eichtransformation (7-8) in (34) ein, so folgt

$$\Lag' =\Lag-{\frac{1}{c}} J_{a} \partial^{a} \chi = \Lag-{\frac{1}{c}} \partial^{a} ( J_{a} \chi )$$ (37)

weil gemäß (23) J divergenzfrei ist:

$${\frac{4\pi }{c}} \partial_{a} J^{a} =\partial_{a} \partial_{b} F^{ba} =0.$$ (38)

Diese Divergenzfreiheit des Viererstroms ist offensichtlich aber umgekehrt auch als Folgerung der Eichinvarianz der Elektrodynamik anzusehen, d.h. die durch die Eichgruppe beschriebene Symmetrie zieht die Divergenzfreiheit des Stromes nach sich. Diese Divergenzfreiheit schreibt sich nun aber im Dreierformalismus

$${\frac{\partial\rho }{\partial t}} +{\rm\div } \vec{j} =0.$$ (39)

Integrieren wir diese Gleichung über den gesamten Ortsraum, so folgt aus dem Gaußschen Satz bei hinreichend schnellem Abfall des Stromes im Unendlichen:

$${\frac{\dd}{\dd t}}\int_{\R^{3} } \rho \dd^{3} \vec{x} = {\frac{\dd Q}{\dd t}} = -\int_{\partial \R^{3} } \dd \vec{S} \; \vec{j} = 0,$$ (40)

d.h. die Divergenzfreiheit des Viererstroms stellt in integraler Form einen Erhaltungssatz bzw. in differentieller Form eine Kontinuitätsgleichung dar. Die Symmetrie des Maxwellfeldes, die durch die Eichgruppe beschrieben wird, zieht die Ladungserhaltung nach sich.