Das Noethertheorem

Im folgenden betrachten wir die totale Variation der Lagrangedichte, die sich zum einen aus der bereits eben hergeleiteten Feldvariation, zum anderen aus der Variation der Raum-Zeitvariablen X ergibt. Wir behandeln Transformationen, die sich durch infinitesimale Erzeugende beschreiben lassen, setzen also voraus, daß die Transformationsgruppen Liegruppen sind.

Das Hauptproblem ist, daß anders als beim Hamiltonprinzip die Variation mit der partiellen Differentiation aufgrund der Mitvariation der Raum-Zeit-Koordinaten nicht vertauschen. Es gilt

$$\delta (A_{i,k} )={\frac{\partial (A_{i} +\delta A_{i} )}{\partia... ..._{i} }{\partial x^{k} }} = (\delta A_{i} )_{,k} - (\delta x^{l} )_{,k} A_{i,l}.$$ (41)

Dabei haben wir die Ableitung der Umkehrfunktion benutzt und die Taylorentwicklung bzgl. der Variationen mit dem linearen Glied abgebrochen. Außerdem wurde die Inversion einer nur infinitesimal von der Einheitsmatrix verschiedenen Matrix benutzt:

$$[({\delta^{l} }_{k} +(\delta x^{l} )_{,k} ]^{-1} = {\delta^{k} }_{l} - (\delta x^{k} )_{,l}.$$ (42)

Weiter benötigen wir die Variation des Vierervolumenelements:

$$\delta (d^{4} \uvec{X} ) = [\det ({\delta^{k} }_{l} + (\delta x^{... ...} ({\delta^{i} }_{P(i)} + ( \delta x^{i} )_{,P(i)} ) - 1\right ] d^{4} \uvec{X}$$ (43)

$$\delta (d^{4} \uvec{X} ) = (\delta x^{i} )_{,i} d^{4} \uvec{X}.$$ (44)

Dabei durchläuft $P$ die 24 Permutation der Zahlen 0 bis 3. Die totale Variation des Wirkungselements lautet demnach

$$\delta (\Lag d^{4} \uvec{X} ) =\left \{{\frac{\partial \Lag}{\par... ...rtial A_{i,k} }} A_{i,l} \right ] (\delta x^{l} )_{,k} \right \} d^{4} \uvec{X}$$ (45)

In Analogie zur klassischen Punktmechanik führen wir den kanonischen Energie-Impulstensor

$${\Theta^{k} }_{l} ={\frac{\partial \Lag}{\partial A_{i,k} }} A_{i,l} - \Lag {\delta^{k} }_{l}$$ (46)

ein, so daß sich (45) abkürzen läßt zu

$$\delta (\Lag d^{4} \uvec{X} ) =\left [{\frac{\partial \Lag}{\part... ...l \Lag}{\partial x^{k} }} \right )_{\exp} \delta x^{k} \right ] d^{4} \uvec{X}.$$ (47)

Eine Symmetrietransformation ist nun eine solche Transformation, bei der die Feldgleichungen forminvariant bleiben, d.h. die eckige Klammer darf nur eine Divergenz der Form (35) sein. Damit also die betrachtete Transformation eine Symmetrietransformation darstellt, ist die folgende Bedingung notwendig und hinreichend:

$${\frac{\partial \Lag}{\partial A_{i} }} \delta A_{i} +{\frac{\par... ...rtial L}{\partial x^{k} }} \right )\delta x^{k} + (\delta\Omega^{i} )_{,i} = 0.$$ (48)

Wir folgern daraus nun einen Erhaltungssatz indem wir (46) nach $x^k$ differenzieren:

$${\Theta^{k} }_{l,k} =-\left ({\frac{\partial \Lag}{\partial x^{l} }} \right )_{\exp}.$$ (49)

Dabei haben wir die Lagrangegleichungen (32) benutzt. Setzt man dies in (48) ein, läßt sich (48) als Divergenz schreiben:

$$\left [{\frac{\partial \Lag}{\partial A_{i,k} }} \delta A_{i} -\Theta^{kl} \delta x_{l} +\delta \Omega^{k} \right ]_{,k} =0.$$ (50)

Dies ist aber genau wie der Erhaltungssatz der Ladung ein Erhaltungssatz in lokaler Form. Wir nutzen jetzt die Kenntnis des Verhaltens der Felder unter der Poincarégruppe aus, die eine Symmetrietransformation darstellt.

Wir beginnen mit der Translation. Dabei ändern sich die Felder nicht explizit, sondern nur über die Variablentransformation, die aber in der obigen Rechnung berücksichtigt ist. Dann folgt für die Translationsgruppe

$$\delta x^{k} = , \quad \delta A^{k} =0, \quad \delta\Omega^{k} =0.$$ (51)

Ein Blick auf (48) lehrt, daß Translationsinvarianz besteht, wenn

$$(\Lag_{,i})_{\text{exp}} =0,$$ (52)

also die Lagrangefunktion nicht explizit von den Koordinaten abhängt, d.h. im Falle der Elektrodynamik für das strom- und ladungsfreie Maxwellfeld. Dann ist

$${\Theta^{kl}}_{,k} =0.$$ (53)

In Raum und Zeitkoordinaten getrennt geschrieben (griechische Indizes laufen im folgenden von 1 bis 3) heißt das

$${\Theta^{\alpha b}}_{,\alpha } =-{\frac{\partial}{c\partial t}} \Theta^{0 b}$$ (54)

Der korrespondierende globale Erhaltungssatz wird hergeleitet wie bei der Ladungserhaltung. Daraus geht hervor, daß

$$g^{\alpha} ={\frac{1}{c}} \Theta^{0\alpha }, \quad u =\Theta^{00}$$ (55)

die Impuls- bzw. Energiedichte des Feldes sein müssen.

Wir betrachten nun eine infinitesimale Lorentztransformation (obwohl wir das Ergebnis im folgenden nicht weiter benötigen werden). Für diese gilt

$$({\delta^{{a'} } }_{a} + {\delta \omega^{{a'} } }_{a} )({\delta^{... ...g^{{a'}{b'} } \Rightarrow \delta \omega^{{b'}{a'} } =-\delta \omega^{{a'}{b'} }$$ (56)

Dabei haben wir die Bewegungsregeln für Indizes auf die infinitesimalen Lorentzmatrizen $\delta$ $\omega$ angewandt:

$$\delta \omega^{ab} =g^{bc} {\delta \omega^{a} }_{c}.$$ (57)

Die infinitesimale Erzeugende der Lorentztransformation ist also eine antisymmetrische Matrix. Unter Lorentztransformationen gilt demnach

$$\delta X^{a} = {\delta\omega^{a} }_{b} X^{b}, \quad \delta A_{i} = {S^{j} }_{imn} \delta \omega^{mn} A_{j}.$$ (58)

Wegen (56) können wir o.B.d.A $S$ als antisymmetrisiert in den Indizes $m$ und $n$ denken. $S$ bestimmt die Darstellung der Lorentztransformation, nach der sich die Feldgrößen transformieren. Im Falle des elektromagnetischen Vierervektors $\uvec{A}$ haben wir offenbar zu setzen

$${S^{j} }_{imn} ={\frac{1}{2}} (g_{im} {\delta_{n} }^{j} -g_{in} {\delta_{m} }^{j} ).$$ (59)

Gehen wir mit (58) in (50) ein, finden wir demnach

$$\left ({\frac{\partial \Lag}{\partial A_{i,k} }} {S^{j} }_{imn} \... ...omega^{mn} A_{j} - {\Theta^{k} }_{m} \delta \omega^{mn} X_{n} \right )_{,k} =0,$$ (60)

d.h. mit den kanonischen Feldimpulsen

$$\Pi^{ik} ={\frac{\partial \Lag}{\partial A_{i,k} }}$$ (61)

ergibt sich der gesuchte Erhaltungssatz durch Antimetrisieren des Koeffizienten von $\delta$ $\omega$ in (41), weil $\delta$ $\omega$ allein durch die Antimetrie eingeschränkt ist, d.h. das Feld

$$c {L^{k} }_{mn} = 2 {H^{k} }_{mn} - ({\Theta^{k} }_{m} X_{n} - {\Theta^{k} }_{n} X_{m})$$ (62)

$$\quad {H^{k} }_{mn} = {S^{j} }_{imn} \Pi^{ik } A_{j}.$$ (63)

Die $k = 0$ -Komponente von $L$ muß nach unserem allgemeinen Schema für $m=0$ der Schwerpunkts- für $m=\mu$ der Drehimpulsdichte des Feldes zugeordnet werden. Man erkennt ferner, daß sich der kanonische Felddrehimpuls aus dem vom geometrischen Typ der Felder, also dem Transformationsverhalten derselben unter Lorentztransformationen, abhängigen ,,Spin-`` und dem aus dem kanonischen Energie-Impulstensor zusammengesetzten ,,Bahndrehimpuls`` zusammensetzen.

Wir gehen jetzt auf das elektromagnetische Maxwellfeld zurück. Dazu benutzen wir (34) um den kanonischen Energie-Impulstensor auszurechnen. Es gilt

$$\Theta^{kl} = -{\frac{1}{4\pi }} F^{ki} {A_{i} }^{,l} +\left ({\frac{1}{16\pi }} F^{ab} F_{ab} +{\frac{1}{c}} J_{a} A^{a} \right ) g^{kl}$$ (64)

Bis jetzt haben wir bei unseren Herleitungen nur Lorentzkovarianz gefordert und durch den Tensorkalkül praktisch automatisch eingehalten. Nun muß aber jede meßbare physikalische Größe (dazu gehören offensichtlich Energie und Impuls) eichinvariant sein. Das ist aber für den kanonischen Energie-Impulstensor nicht der Fall, denn es gilt

$$A^{k} \rightarrow A^{k} +\chi^{,k} ;\Theta^{kl} \rightarrow \Thet... ...} \partial_{i} \partial^{l} \chi +{\frac{1}{c}} J_{a} \partial^{a} \chi g^{kl}.$$ (65)

Wir haben aber $\Theta$ dadurch physikalisch ausgezeichnet, daß er einen Erhaltungssatz ${\Theta^{kl}}_{,k}=0$ ergibt, falls es sich um ein freies Maxwellfeld (also $J=0$ ) handelt. Der Erhaltungssatz ändert sich aber offenbar nicht, wenn man zum kanonischen Energie-Impulstensor einen divergenzfreien Term addiert. Auf diese Weise können wir einen eichinvarianten Energie-Impulstensor gewinnen. Wenn man (65) betrachtet, sieht man, daß dies durch

$$T^{kl} ={\frac{1}{4\pi }} F^{ki} {A^{l} }_{,i} -{\frac{1}{c}} J_{a} A^{a} g^{kl} +\Theta^{kl}$$ (66)

erfüllt wird. Für $\uvec{J}=0$ kann man (66) aufgrund von (23) schreiben:

$$T^{kl} ={\frac{1}{4\pi }} (F^{ki} A^{l} )_{,i} + \Theta^{kl},$$ (67)

und der Zusatzterm ist divergenzfrei bzgl. $k$ wie es sein muß.

Für uns ist im folgenden die Wirkung des Viererstroms interessant, denn er beschreibt die Quellen des elektromagnetischen Feldes. Aus (66) folgt

$${T^{kl} }_{,k} ={\frac{1}{c}} J_{a} F^{al}.$$ (68)

Die Viererkraftdichte, die aufgrund des elektromagnetischen Feldes auf ein Kontinuum (bzw. Teilchen bei Verwendung der Diracschen $\delta$ -Funktion) ist demgemäß

$${\frac{\partial}{\partial t}} g^{\lambda}_{\text{mech}} =-{T^{k\l... ...\rho E_{\lambda} +\left ( \frac{1}{c} \vec{j} \times\vec{B} \right )^{\lambda}.$$ (69)

Im Dreierformalismus schreibt sich das wie folgt:

$${\frac{\partial}{\partial t}} \left ( g_{\lambda}^{(\text{mech})}... ...ht) =-{T^{\alpha \lambda } }_{,\alpha } = {T^{(M)} }_{\alpha \lambda ,\alpha }.$$ (70)

Der rechts im Dreierformalismus geschriebene Tensor $T^M$ ist der Maxwellsche Spannungstensor, der sich schreiben läßt zu

$${T^{(M)} }_{\alpha \beta } ={\frac{1}{4\pi }} (E_{\alpha} E_{\bet... ...} B_{\beta} -{\frac{1}{2}} (\vec{E}^{2} +\vec{B}^{2} )\delta_{\alpha \beta } ).$$ (71)

Wir wollen nun (69) zur Herleitung der Kraftwirkung auf Punktladungen anwenden. Die Viererstromdichte einer Punktladung ist offenbar

$$J^{0} (t;\vec{x} )=qc\delta^{(3)} [\vec{x} -\vec{z} (t)], \quad \vec{j} (t;\vec{x} )=q \vec{v} \delta^{(3)} [\vec{x} -\vec{z} (t)].$$ (72)

Daß dies eine kovariante Ausdruck ist, zeigt sich daran, daß man ihn in der explizit kovarianten Form

$$J^{a} (\uvec{X} ) =q\int_{R} {\frac{d Z^{a} }{d\tau }} \delta^{(4)} [\uvec{X} -\uvec{Z} (\tau )] d\tau$$ (73)

schreiben kann, wobei $\tau$ irgendein die Bahnkurve im Minkowskiraum (die Weltlinie) des Teilchens parametrisierender Skalar ist. Dazu kann die Eigenzeit des Teilchens gewählt werden. Setzen wir den Strom in der Form (72) in (69) ein, so erhalten wir nach Integration über das Dreiervolumen

$${\frac{d\vec{p} }{dt}} =q\vec{E} +{\frac{q}{c}}\vec{v} \times\vec{B}.$$ (74)

Die 0-Komponente der Gleichung (69) schreibt sich

$${\frac{dW}{dt}} =q\vec{v}\vec{E}.$$ (75)

Explizit relativistisch kovariant wird diese Bewegungsgleichung erst dadurch, daß wir (74) und (75) durch den Lorentzfaktor dividieren und damit

$${\frac{dP^{a} }{d\tau }} ={\frac{q}{c}} F^{ab} {\frac{dX_{b} }{d\tau }}$$ (76)

erhalten.

Eine andere Fragestellung ist die nach dem durch auf vorgegebenen Viererbahnen bewegten Teilchen erzeugten elektromagnetischen Feld. In Lorentzeichung schreibt sich das als die inhomogene Wellengleichung (14) mit dem gegebenen Strom (73). Eine Partikulärlösung der inhomogenen Gleichung kann allgemein angegeben werden, wenn man die Greenfunktion des d'Alembert-Operators findet. Die Greenfunktion ist definiert durch die Differentialgleichung

$$\Box_{\uvec{X} } G(\uvec{X} ;\uvec{X}' ) =\delta^{(4)} (\uvec{X} -\uvec{X}' )$$ (77)

und die Retardierungsbedingung

$$G(\uvec{X};\uvec{X}')=\Theta(X_0-X_0') g(\uvec{X}- \uvec{X}').$$ (78)

Dabei ist $\Theta$ die Heavisidesche Sprungfunktion. Um das Problem zu lösen, führen wir eine Fouriertransformation von (77) durch:

$$G(\uvec{X} ;\uvec{X}' )=-\left ({\frac{1}{2\pi }} \right )^{2} \int_{R^{4} } G(\uvec{k} ;\uvec{X}' )\exp (i k^{a} X_{a} ) d^{4} \uvec{k}.$$ (79)

Setzt man dies in (77) ein, findet man:

$$-k^{a} k_{a} G(\uvec{k} ;\uvec{x}' )=\left ({\frac{1}{2\pi }} \ri... ... ({\frac{1}{2\pi }} \right )^{2} {\frac{\exp (-ik^{a} X_{a'} )}{k^{a} k_{a} }}.$$ (80)

Bei der Rücktransformation von (80) in den Raum-Zeit-Bereich ist (78) zu beachten. Deshalb erscheint es sinnvoll, zunächst das $k_0$ -Integral auszuwerten. Die Schwierigkeit besteht dabei darin, daß auf der $k_0$ -Achse Pole der Fouriertransformierten liegen. Man hat also den Integrationsweg in der folgenden Weise ins Komplexe zu deformieren:

Abbildung: Zur Fourier-Rücktransformation der retardierten Greenfunktion der Wellengleichung.

Die kleinen Halbkreise, die die Pole ausschließen, wurden in die untere Halbebene gelegt um die obige Retardierungsbedingung zu erfüllen: Beim Durchlaufen des oberen Weges muß $X_0>X_{0}'$ sein, damit das Integral über den großen Kreis im Limes für $R \rightarrow \infty$ verschwindet. Für $X_0>X_{0}'$ muß der Weg in der unteren Halbebene geschlossen werden. Das Integral über diesen Weg verschwindet nach dem Residuensatz, weil innerhalb desselben keine Pole des Integranden liegen, wie wir es oben gefordert haben. Das Integral über den oberen Weg läßt sich ebenfalls vermittels des Residuensatzes ausrechnen:

$$\int_{R} {\frac{\exp [ik_{0} (X_{0} -X_{0'} )]}{k_{0}^{2} -k^{2} ... ...[ik(X_{0} -X_{0'} )]}{2 k}} -{\frac{\exp [-ik(X_{0} -X_{0'} )]}{2 k}} \right ],$$ (81)

d.h. es gilt

$$g(\uvec{X} ;\uvec{X}' ) =\left ({\frac{1}{2\pi }} \right )^{3} \i... ... [k(X_{0} -X_{0}' )]}{k}}\exp [\vec{ik} (\vec{x} -\vec{x}_{0} )] d^{3} \vec{k}.$$ (82)

Zur Berechnung dieses Integrals führt man Kugelkoordinaten ein und erhält durch einfache Integration

$$G(\vec{X} ;\uvec{X}' ):=G(\uvec{X} -\uvec{X}' ) G(\uvec{X} )={\frac{\Theta (X_{0} )\delta (x_{0} -\vert\vec{x}\vert )}{\vert\vec{x} \vert }} = 2\Theta (X_{0} )\delta (X^{a} X_{a} )$$ (83)

Das elektromagnetische Feld bei vorgegebenem Strom ist also

$$A^{a} (\uvec{X} ) =\int_{R^{4} } {\frac{1}{c}}{\frac{\Theta (X_{0... ...{0} -X_{0'} -\vert\vec{x} -\vec{x'} \vert ) J^{a} (\uvec{X'} ) d^{4} \uvec{X'}.$$ (84)

Zum Nachweis, daß die Lorentzeichbedingung des Potentials erfüllt ist, schreiben wir

$$\partial_{a} A^{a} =\int_{R^{4} } {\frac{4\pi }{c}} [\partial_{a}... ...} \partial_{{a'} } G(\uvec{X} -\uvec{X}' ) J^{a} (\uvec{X}' ) d^{4} \uvec{X}' =$$ (85)

$$={\frac{4\pi }{c}}\int_{R^{4} } G(\uvec{X} -\uvec{X}' )\partial_{a'} J^{a} (\uvec{X}' ) d^{4} \uvec{X}' =0$$ (86)

weil $J^a$ divergenzfrei ist.

Zur physikalischen Interpretation rechnen wir das Ergebnis in den Dreierformalismus um:

$$\varphi =\int_{R^{3} } {\frac{\rho (X_{0} -\vert\vec{x} -\vec{x'}... ...-\vec{x'} \vert ;\vec{x'} )}{c}} {\vert\vec{x} -\vec{x'} \vert } d^{3} \vec{x'}$$ (87)

Erinnert man sich der Elektro- bzw. Magnetostatik, erkennt man, daß zum Feld zur Zeit $t$ die Quellen zur Zeit $t_{\mathrm{ret}} = t-r/c$ , wobei $r$ der Abstand zwischen Auf- und Quellpunkt ist, beitragen, d.h. die elektromagnetische Wirkung der Quellen breitet sich mit (der endlichen!) Lichtgeschwindigkeit $c$ aus. Hätte man die Retardierungsforderung nicht gestellt, hätte man auch die avancierte Greenfunktion, wo die Quellen aus der Zukunft gewirkt hätten, oder eine Linearkombination aus beiden erhalten können, die aber nicht die Forderung der Kausalität erfüllen.

Wir wenden schließlich noch die Greenfunktion auf die Quellen (73) an:

$$A^{a} (\uvec{X} )={\frac{4\pi }{c}}\int_{R^{4} } \int_{R} q\delta... ...\pi }{c}}\int_{R} q{\frac{dY^{a} }{d\tau }} G[\uvec{X} -\uvec{Y} (\tau )] d\tau$$ (88)

Das ist das sog. Lienard-Wiechertsche Potential.