Monopole in der klassischen Elektrodynamik

Die quellenfreien Maxwellgleichungen

$$\rot \vec{E} =-{\frac{\partial\vec{B}}{c\partial t}}; \; \rot \vec{B} ={\frac{\partial\vec{E} }{c\partial t}} ; \; \div\vec{B} =0$$ (89)

weisen neben der aus der Struktur von Raum und Zeit gegebenen Symmetrie gegenüber der Poincarégruppe und der Eichinvarianzsymmetrie noch eine dynamische Symmetrie auf. Diese läßt sich finden, wenn man die folgende Transformation

$$\vec{E} =\alpha\vec{E'} +\beta\vec{B'}; \; \vec{B} =\gamma \vec{E}' +\delta \vec{B}'$$ (90)

mit Konstanten $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ und $\delta$ bildet und zunächst Forminvarianz der freien Maxwellgleichungen gegenüber diesen Transformationen fordert. Dazu setzen wir (90) in (89) ein:

$$\rot (\alpha\vec{E}' +\beta\vec{B}' )=-{\frac{\partial}{c\partial... ... -{\frac{\partial}{c\partial t}} (\gamma \vec{E}' +\delta\vec{B}' ) \Rightarrow$$ (91)

$$\alpha =\delta ; \; \beta =-\gamma.$$ (92)

Damit auch die Energiedichte $u$ und die Energieströmung (Poyntingvektor) $\vec{S}$

$$u={\frac{1}{8\pi }} (\vec{E}^{2} +\vec{B}^{2} ); \; \vec{S} ={\frac{c}{4 \pi }}\vec{E} \times \vec{B}$$ (93)

invariant bleiben, muß

$$\alpha =\cos \xi \; ;\beta =\sin \xi ; \;\gamma =-\sin \xi ; \; \delta =\cos \xi$$ (94)

gelten. Die gewonnene Transformation läßt sich in der folgenden Matrizenschreibweise übersichtlich darstellen:

$$\left (\begin{array}c \vec {E} \\ \vec{B} \end{array}\right ) =\... ...nd{array}\right )\left (\begin{array}c \vec{E} \\ \vec{B} \end{array}\right ).$$ (95)

Diese Transformationen heißen duale Transformationen.

Die Maxwellgleichungen mit Quellen, also Strömen und Ladungen, sind nicht invariant unter dualen Transformationen. Das erkennt man sofort, wenn man annimmt, es gelten die Maxwellgleichungen (1) für die gestrichenen Feldgrößen, und die duale Transformation (95) anwendet. Die inhomogenen Gleichungen im ungestrichenen Feldsystem lauten dann nämlich

$$\rho ={\rm\div }\vec{E} =\cos \xi {\rm\div } \vec{E}' = 4 \pi \cos \xi \rho'; \; \div\vec{B} =-4\pi \sin \xi {\rho'} =-4\pi \tan \xi \rho,$$ (96)

d.h. wir haben eine i.A. nicht verschwindende Quelldichte magnetischer Ladungen im Widerspruch zu den Forderungen der Maxwellgleichungen erhalten. Analog folgt die Existenz eines Stromes bestehend aus magnetischen Ladungen wenn man die übrigen Maxwellgleichungen beachtet. Zusammen ergibt sich genau wie bei Ladungen eine Kontinuitätsgleichung für die magnetischen Ladungen und Ströme genauso wie für die elektrische Ladung.

Gehen wir nun umgekehrt vor und lassen die Quellenfreiheit des magnetischen Feldes fallen, so gehen die Felder $\vec{E}$ und $\vec{B}$ völlig gleichberechtigt in die entstehenden Maxwellgleichungen ein:

$$-\rm\rot \vec{E} -{\frac{\partial\vec{B} }{c\partial t}} ={\frac{... ...i }{c}}\vec{j} ; \; \div\vec{B} =4\pi \rho_{m}; \; \div\vec{E} = 4\pi \rho_{e}.$$ (97)

Man erkennt auch sofort, daß die Felder und Quellen einem Dualitätsprinzip gehorchen. Ersetzt man nämlich in der ersten und dritten der Gleichungen (97) $\vec{E}$ durch $-\vec{B}$ und $\vec{B}$ durch $\vec{E}$ sowie $\vec{k}$ durch $\vec{j}$ und $\rho_m$ durch $\rho_e$ , erhält man die zweite und vierte Gleichung.

Ein Blick auf (96) zeigt, daß die neuen Maxwellgleichungen (97) immer dann auf die alten Maxwellgleichungen dual transformiert werden können, wenn die magnetische und elektrische Ladung immer in einem materialunabhängigen Verhältnis in der Natur vorkommt. Dann wären die alten Maxwellgleichung lediglich Konvention und die Felder $\vec{E}$ und $\vec{B}$ gemäß den dualen Transformationen völlig gleichberechtigt.

Wir ziehen nun zunächst einige einfache Konsequenzen aus der Annahme der Existenz magnetischer Monopole bzw. Ladungsverteilungen. Wir haben oben gesehen, daß die Maxwellgleichungen gegenüber der vollen Lorentzgruppe O(1,3) invariant sind, d.h. die Elektrodynamik manifest kovariant (also im Sinne des Tensorkalküls) im Raum mit der Signatur (1,3) formulierbar ist (Minkowskiraum). Die Gruppe O(1,3) kann in folgende vier Bestandteile zerlegt werden:

Die SO(1,3) ist die Untergruppe der O(1,3) mit der Determinante +1. Diese enthält die Untergruppe SO(1;3)$\uparrow$ , die eigentlich orthochrone Lorentzgruppe, die die Zusammenhangskomponente mit der Identität darstellt. Sie bedeutet physikalisch den Wechsel des Bezugssystems von einem Inertialsystem in ein anderes und wird durch die räumlichen Drehungen und die ,,Lorentzboosts`` erzeugt (6-parametrige Gruppe). Sie läßt dabei die Zeitrichtung invariant (d.h. der Zeitbasisvektor bleibt im Vorwärtslichtkegel). Die zu dieser Zusammenhangskomponente mit der Identität gehörige Nebenklasse, die SO(1;3) $\downarrow$ enthält die eigentlich antichronen Lorentztransformationen und ist die Zusammenhangskomponente mit der totalen Inversion, d.h. der gleichzeitigen Zeitumkehr und Rauminversion.

Auch die Nebenklasse zur vollen SO(1,3), also die Menge O(1;3)/SO(1,3) zerfällt ihrerseits wieder in zwei Teile, nämlich die uneigentlich orthochronen (enthält die reine Rauminversion) und die uneigentlich antichronen Lorentztransformationen.

Die diskreten Symmetrien sind für die klassische Theorie relativ uninteressant, werden aber in der Quantentheorie äußerst wichtig (Parität, PCT-Theorem). Wie wir eben gesehen haben, genügt die Untersuchung der Zeitumkehrtransformation T und der Rauminversion P (für Paritätsoperator). Alle anderen nicht mit der Identität zusammenhängenden Transformationen lassen sich nach der obigen Betrachtung aus der SO(1;3) und T und P zusammensetzen. Für das Transformationsverhalten einiger Größen kann man die folgende Tabelle erstellen:

Größe	Zeitumkehr	Rauminv.	Begründung
t	-1	+1	Definition
$\vec{x}$	+1	-1	Definition
$\vec{v}$	-1	-1	$\vec{v}=\d \vec{x}/\d t$
$\vec{F}$	+1	-1	$\vec{F}=m (d^{2} \vec{x}/dt^{2})$ ; $m$ : Skalar
$\vec{E}$	+1	-1	Lorentzkraft:
$\vec{B}$	-1	+1	$\vec{F}= e \vec{E}+e/c \vec{v} \times \vec{B}$
$\rho_{e}$	+1	+1	$\div\vec{E}$ ist skalar
$\rho_{m}$	-1	+1	$\div\vec{B}$ ist pseudoskalar
$\vec{j}$	-1	-1	Maxwellgleichungen (97)
$\vec{k}$	+1	+1	und obige Beziehungen

Das bedeutet aber, daß bei der Annahme der Existenz von Materie, die elektrische und magnetische Ladungsverteilung enthält, die Symmetrie unter Zeitumkehr und Rauminversion nicht mehr gegeben ist, d.h. diese Symmetriebrechungen treten bereits in der klassischen Theorie auf.

Es sollen nun die Möglichkeiten der Entwicklung einer klassischen dynamischen Theorie punktförmiger Monopole untersucht werden. Dazu kehren wir zum manifest kovarianten Viererformalismus zurück. Betrachtet man die eben postulierten modifizierten Maxwellgleichungen (97), so sieht man, daß die Monopole die Integrabilitätsbedingungen (25) verletzen. Die modifizierten Maxwellgleichungen müssen nämlich im Viererformalismus offenbar wie folgt geschrieben werden:

$$\partial_{b} F^{ba} ={\frac{4\pi }{c}} J^{a}; \; \partial_{b} (F{\dag })^{ba} ={\frac{4\pi }{c}} K^{a} K^{0} =c\rho_{m} ; \; K^{\alpha} =k_{\alpha}.$$ (98)

Wir nehmen dabei an, daß die Viererströme $\uvec{J}$ und $\uvec{K}$ durch Punktquellen erzeugt werden, d.h. gemäß (73):

$$J^{a} (\uvec{x} )=e\int_{R} {\frac{dy^{a} }{d\tau }} \delta^{(4)}... ...t_{R} {\frac{dz^{a} }{d\tau }} \delta^{(4)} [\uvec{x} -\uvec{z} (\tau )] d\tau.$$ (99)

Das bedeutet nun aber, daß die Integrabilitätsbedingungen nur auf den Weltlinien der magnetischen Monopole verletzt sind, d.h. man kann vermuten, daß es möglich ist, ein singuläres Vektorpotential $\uvec{A}$ zu konstruieren, das den Pol beschreibt. Wir denken uns dazu zunächst einen im Ursprung eines Koordinatensystems ruhenden magnetischen Monopol, d.h. es gilt (wir kehren kurz zum Dreierformalismus zurück):

$$\div\vec{B} = 4\pi g\delta^{(3)} (\vec{x} ).$$ (100)

Wendet man darauf den Gaußschen Satz an, so folgt wie in der Elektrostatik

$$\forall \delta >0: \oint_{\partial K_{\delta} } \vec{B} d\vec{S} = 4\pi g$$ (101)

Dabei soll mit $K_{\delta}$ die Kugel mit dem Radius $\delta$ um den Ursprung bezeichnet werden. Andererseits gilt aber außer im Ursprung $\vec{B}=\rot \vec{A}$ . $\vec{A}$ kann nun aber nicht regulär sein, d.h. es muß auf jeder Kugelfläche, die den Pol in ihrem Inneren enthält, eine Singularität vorliegen, durch deren Existenz (101) gesichert ist, d.h. ausgehend vom Pol muß es eine sich ins Unendliche erstreckende Linie geben, längs der $\vec{A}$ singulär wird. Diese Linie ist der sog. String.

Abbildung: Zur Beschreibung des singulären Vektorpotentials des magnetischen Monopols mittels eines ,,Strings``.

Denken wir uns nun den Monopol längs irgendeiner Weltlinie im Minkowskiraum bewegt, erkennen wir, daß zu jedem Zeitpunkt ein solcher sich halbseitig ins Unendliche erstreckender String gegeben sein muß, der die Flußbedingung (101) sichert. Insgesamt entsteht ein sich halbseitig ins Unendliche erstreckendes zweidimensionales Blatt (sheet) im Minkowskiraum. Dieses Blatt wird nun wie folgt parametrisiert:

$$S:\uvec{y} =\uvec{y} (\tau_{0} ;\tau_{1} )$$ (102)

wobei $\tau_0$ und $\tau_1$ die Flächenparameter sind, die wie folgt gewählt seien: $\tau_1=0$ soll gerade die Weltlinie des Pols und damit der einzige im Endlichen gelegene Rand des Blattes sein. $\tau_0$ ist ein skalarer Zeitparameter mit Wertebereich $\R$ , für $\tau_1=0$ gerade die Eigenzeit $\tau$ des Pols. $\tau_1 \in [0;\infty[$ parametrisiert für festgehaltenes $\tau_0$ den zu diesem Zeitpunkt gehörigen String.

Abbildung: Beschreibung eines magnetischen Monopols durch ein Blatt im dreidimensionalen Minkowskiraum. Die zeitartige Weltlinie des Strings ist durch $z(\tau )$ gegeben. Aus jedem Punkt der Weltlinie entspringt ein raumartiger String. Diese Strings bilden das Blatt. In der physikalischen Raumzeit ist das Blatt eine dreidimensionale Hyperfläche. Die Erklärung der Parametrisierung des Blattes findet sich im Text.

Wir bemerken, daß die Strings und damit auch das Blatt ein Rechenhilfsmittel darstellen und physikalisch unbeobachtbar sind. Man darf sich den String als Kette von Dipolen vorstellen, die nicht real existieren. Das heißt aber, daß bei einer konsistenten Beschreibung keine Ladung diesen String durchlaufen darf, weil ja sonst die Wirkung desselben auf die Ladung beobachtbar wäre. Das führt in dieser Theorie zum sog. Dirac-Veto und wird weiter unten noch streng mathematisch zu fordern sein. Andererseits ist die Wahl des Strings frei (verschiedene Strings führen zu Vektorpotentialen, die sich höchstens durch Eichtransformationen voneinander unterscheiden).

Für den Feldsechservektor der durch die Pole modifizierten Theorie schreiben wir:

$$F^{ab} =\partial^{a} A^{b} -\partial^{b} A^{a} +{\frac{4\pi }{c}} (G \dag )^{ab}.$$ (103)

Der Sechservektor $\uvec{G}$ verschwindet überall außer auf dem Blatt. Setzt man diesen Ansatz in (98) ein, so findet man nach (99)

$$\partial_{b} G^{ab} = g\int_{R} {\frac{dz^{a} }{d\tau }} \delta^{... ... (\tau_{0} ;\tau_{1} =0)]{\frac{\partial y^{a} }{\partial\tau_{0} }} d\tau_{0}.$$ (104)

Dabei haben wir im letzten Schritt beachtet, daß die Weltlinie des Pols der Rand des Blattes ist. Wir können also (104) als Wegintegral schreiben:

$$\partial_{b} G^{ab} =g\int_{\partial S} \delta^{(4)} [\uvec{x} -\... ...} }} d\tau_{0} +{\frac{\partial y^{a} }{\partial\tau_{1} }} d\tau_{1} \right ].$$ (105)

Nach dem Stokesschen Satz für die Ebene gilt:

$$\partial_{b} G^{ab} =-g\int_{S} \left [{\frac{\partial y^{a} }{\... ...(4)} (\uvec{x} -\uvec{y} )}{\partial\tau_{0} }} \right ] d\tau_{0} d\tau_{1} =$$ (106)

$$=-g\int_{S} \left [{\frac{\partial y^{a} }{\partial\tau_{0} }}{\... ...ial\tau_{0} }} \right ]\delta^{(4)} (\uvec{x} -\uvec{y} ) d\tau_{0} d\tau_{1} =$$ (107)

$$={\frac{\partial}{\partial x^{b} }} g\int_{S} \left [{\frac{\part... ...rtial\tau_{0} }} \right ]\delta^{(4)} (\uvec{x} -\uvec{y} ) d\tau_{0} d\tau_{1}$$ (108)

Dabei haben wir die Kettenregel angewandt und statt nach $y$ nach $x$ differenziert, d.h. man erhält eine Lösung für G zu

$$G^{ab} (\uvec{x} ) = g\int_{S} \left [{\frac{\partial y^{a} }{\pa... ...t ]\delta^{(4)} [\uvec{x} -\uvec{y} (\tau_{0} ;\tau_{1} )] d\tau_{0} d\tau_{1}.$$ (109)

Wir haben oben die retardierte Greenfunktion $G(\uvec{x}-\uvec{x}')$ (83) für die Wellengleichung hergeleitet. Wir wollen nun auch das oben angesetzte Feld $\uvec{A}$ im Fall der Existenz von Polen berechnen. Gemäß (103) muß gelten:

$$(F{\rm\dag })_{cd} =\epsilon_{abcd} \partial^{a} A^{b} -{\frac{4\pi }{c}} G_{cd}.$$ (110)

Falls nun keine elektrischen Ladungen vorhanden sind, gilt

$$\partial_{a} F^{ab} = 0.$$ (111)

Das ist eine Integrabilitätsbedingung für $\uvec{F}\dag$ , d.h. es existiert, ein Vektorpotential $\uvec{B}$ für $\uvec{F}\dag$ . Analog zum Liénard-Wiechert-Potential (88) gilt:

$$(F{\rm\dag })_{cd} =\partial_{c} B_{d} -\partial_{d} B_{c} ;B_{d}... ...ac{4\pi }{c}} g\int_{R} G(\uvec{x} -\uvec{x'} ){\frac{d z_{d} }{d\tau }} d\tau.$$ (112)

Setzen wir das in (110) ein, so erhalten wir unter Verwendung von (109)

$$\epsilon_{abcd} \partial^{a} A^{b} ={\frac{4\pi g}{c}}\int_{R} \l... ... -\partial_{d} G(\uvec{x} -\uvec{z} ){\frac{dz_{c} }{d\tau }} \right ] d\tau +$$ (113)

$$+{\frac{4\pi g}{c}}\int_{S} \left [{\frac{\partial y_{c} }{\part... ...tial\tau_{0} }} \right ]\delta^{(4)} (\uvec{x} -\uvec{y} ) d\tau_{1} d\tau_{0}.$$ (114)

Benutzen wir wieder den Stokesschen Satz, ergibt sich

$$\epsilon_{abcd} \partial^{a} A^{b} ={\frac{4\pi }{c}} g \int_{S} \Big [ \partial_{c} {\frac{\partial G(\uvec{x} -\uvec{y} )}{\partial\ta... ...-\uvec{y} )}{\partial\tau_{1} }}{\frac{\partial y_{d} }{\partial\tau_{0} }} +$$

$$+ {\frac{\partial y_{c} }{\partial\tau_{0} }}{\frac{\partial y_{... ...al\tau_{1} }} \Box_{x} G(\uvec{x} -\uvec{y} )\Big ] d\tau_{1} d\tau_{0} - (cd)$$ (115)

Dabei soll $(cd)$ derselbe Ausdruck mit vertauschten Indizes $c$ und $d$ sein. Differenziert man nun statt nach $x$ nach $y$ und formt den Integranden um, findet man schließlich nach nochmaligem Vertauschen der Ableitungen

$$\epsilon_{abcd} \partial^{a} A^{b} ={\frac{4\pi g}{c}}\int_{S} {\... ...ta_{d}^{m} \delta_{l}^{n} +\delta_{l}^{k} \delta_{c}^{m} \delta_{d}^{n} -(cd)]=$$ (116)

$$={\frac{4\pi g}{c}} \epsilon_{abcd} \epsilon^{bkmn} \partial^{a} ... ...ial\tau_{0} }}{\frac{\partial y_{n} }{\partial\tau_{1} }} d\tau_{0} d\tau_{1}.$$ (117)

Ein Vergleich mit dem obigen Ansatz ergibt die Darstellung

$$A^{b} ={\frac{4\pi g}{c}} \epsilon^{bkmn} \int_{S} {\frac{\partia... ...tial\tau_{0} }}{\frac{\partial y_{n} }{\partial\tau_{1} }} d\tau_{0} d\tau_{1}.$$ (118)

Da die Feldgleichungen linear sind, gilt das Superpositionsprinzip, so daß man die Beiträge der elektrischen Ladungen (gegeben durch die Liénard-Wiechert-Potentiale) oder weiterer Pole addieren kann. Damit ist gezeigt, daß die Dynamik der Felder, Ladungen und Pole eine in sich konsistente Theorie bilden, die mit der Forderung nach Lorentzinvarianz verträglich ist.

Als nächsten Schritt haben wir den Lagrangeformalismus der Felder, Ladungen und Pole zu entwickeln. In Abschnitt 1 haben wir das Hamiltonsche Prinzip für Felder entwickelt. Die Ladungen lassen sich in diesen Formalismus einbringen, wenn man die durch sie erzeugten Ströme durch (73) ausdrückt und die Wirkung für das freie Teilchen addiert. Die Wirkung des freien Teilchens ist bekanntlich

$$I_{1} =-mc^{2} \int d\tau.$$ (119)

Im folgenden müssen wir zunächst die Stringvariablen $\uvec{y}$ in den Lagrangeformalismus einarbeiten. Analog zur Bewegungsgleichung (76) für Ladungen, muß sich gemäß dem obigen Dualitätsprinzip als Bewegungsgleichung für Pole ergeben:

$$m{\frac{d^{2} z^{a} }{d\tau^{2} }} ={\frac{g}{c}} (F{\rm\dag })^{ab} {\frac{dz_{b} }{d\tau }}.$$ (120)

Es ist klar, daß sich das allein dadurch erreichen lassen muß, daß man in (118) das entsprechende Glied für die Pole addiert und statt der klassischen Felder (103) einsetzt. Nach (34) haben wir

$$I_{2} =-{\frac{1}{16\pi }}\int_{\R^{4} } F_{ab} (\uvec{x} ) F^{ab} (\uvec{x} ) d^{4} \uvec{x}$$ (121)

als Wirkung des elektromagnetischen Feldes. Da $\uvec{F}$ aber durch (19) definiert wird, beschreibt diese Wirkung nicht mehr das freie Maxwellfeld sondern, wie wir im folgenden zeigen müssen, zusätzlich die Wirkung der Pole. Weiter ist die Wechselwirkung des elektrischen Viererstroms zu berücksichtigen, die nach (34) wie folgt in die Gesamtwirkung eingeht.

$$I_{3} =-\sum_{e} {\frac{e}{c}}\int_{R} A^{a} (\uvec{z} ){\frac{dz_{a} }{d\tau }} d\tau.$$ (122)

Wir haben nun zu zeigen, daß die Wirkung $I=I_1+I_2+I_3$ die Bewegung der Pole und Ladungen sowie die Dynamik der Felder richtig beschreibt. Dazu bilden wir die Variation der Wirkung im Sinne des Hamiltonschen Prinzips. Dabei werden die Koordinaten der Teilchen und Strings sowie die Felder variiert. Es gilt

$$\delta I_{1} =-\delta c^{2} \int\sum_{e+g} m d\tau.$$ (123)

Da die Eigenzeit $\tau$ nicht unabhängig von den Koordinaten ist, führen wir einen unabhängigen Parameter $\lambda$ für die Weltlinie ein, führen die Variation aus und kehren dann wieder zur Eigenzeit als Parameter der Weltlinie zurück:

$$I_1=-c \int_{\R} \sum_{e+g} m \sqrt{\frac{d z^a}{d \lambda} \frac... ...c{d x^b}{d \lambda} \frac{dz_b}{d \lambda}}^{-1} \right ] \delta z^a d \lambda.$$ (124)

Dabei ist einmal partiell integriert worden. Geht man nun wieder zu $\tau$ als Parameter über, findet man

$$\delta I_{1} =\sum_{e+g} m\int_{R} {\frac{d^{2} z_{a} }{d\tau^{2} }} \delta z^{a} d\tau.$$ (125)

Auch der dritte Term ist aus der gewöhnlichen Elektrodynamik bekannt und seine Variation leicht ausführbar:

$$\begin{split}\delta I_{3} &= -\sum_{e} \frac{e}{c} \int_{\R} ... ...+\delta A^{a} \right ] \frac{dz_{a}}{d\tau } d\tau. \end{split}$$ (126)

Jetzt ist noch $I_2$ zu variieren:

$$\delta I_{2} =-{\frac{1}{16\pi }} \delta\int_{R^{4} } F_{ab} F^{a... ...\uvec{x} = -{\frac{1}{8\pi }}\int_{R^{4} } F_{ab} \delta F^{ab} d^{4} \uvec{x}.$$ (127)

Wir setzen nun für $\uvec{F}$ den Ausdruck (103) ein:

$$\delta I_{2} =-\int_{R} {\frac{1}{8\pi }} F_{ab} \left [\delta (\... ...^{b} A^{a} ) +{\frac{g}{2 c}} (\delta G{\rm\dag })^{ab} \right ] d^{4} \uvec{x}$$ (128)

Der zweite Term ist nach (109):

$$\delta I_{22} =-{\frac{g}{2 c}}\int_{\R^{4}} (F{\rm\dag })_{ab} \... ...[\uvec{x} -\uvec{y} (\tau_{0} ;\tau_{1} )] d\tau_{0} d\tau_{1} d^{4} \uvec{x} =$$ (129)

$$=-{\frac{g}{c}}\int_{\R^{4}} (F{\rm\dag })_{ab} \delta\int_{S} {\... ... [\uvec{x} -\uvec{y} (\tau_{0} ;\tau_{1} )] d\tau_{0} d\tau_{1} d^{4} \uvec{x}.$$ (130)

Die Ausführung der Variation des Integrals über das Blatt ergibt

$$\int_{S} \left \{ \left [{\frac{\partial\delta y^{a} }{\partial\t... ...c{x} -\uvec{y} )}{\partial y_{c} }} \delta y^{c} \right \} d\tau_{0} d\tau_{1}.$$ (131)

Wir setzen dies wieder in den Ausdruck für $\delta I_{22}$ ein, berechnen das Integral über die $\delta$ -Distribution und vertauschen im letzten Term die Differentiation nach y mit der nach x:

$$\delta I_{2} = -{\frac{g}{c}}\int_{S} (F{\rm\dag })_{ab} ( \uvec{... ...frac{\partial\delta y^{b} }{\partial\tau_{1} }} \right ] d\tau_{0} d\tau_{1} +$$ (132)

$$+{\frac{g}{c}}\int_{\R^{4}} (F{\rm\dag })_{ab} \int_{S} {\frac{\p... ...\uvec{y} )}{\partial x^{c} }} \delta y^{c} d\tau_{0} d\tau_{1} d^{4} \uvec{x}.$$ (133)

Nach partieller Integration des Terms in der zweiten Zeile erhalten wir

$$\delta I_{22} =-{\frac{g}{c}}\int_{S} (F{\rm\dag })_{ab} ( \uvec{... ...} ){\frac{\partial y^{a} }{\partial\tau_{0} }} \delta y^{c} d\tau_{0} d\tau_{1}$$ (134)

Der erste Term ist weiter umzuformen:

$$-{\frac{g}{c}}\int_{S} \left \{{\frac{\partial [(F{\rm\dag })_{ab... ...partial y^{b} }{\partial\tau_{0} }} \delta y^{a} \right \} d\tau_{0} d\tau_{1}.$$ (135)

Die ersten beiden Terme lassen sich wieder nach dem Stokesschen Satz umformen (wobei wieder beachtet wird, daß der Rand des Blattes S die Weltlinie des Pols ist):

$$-{\frac{g}{c}} \left \{\int_{\partial S} (F{\rm\dag })_{ab} ( \uv... ... y^{b} }{\partial\tau_{0} }} \right ]\delta y^{a} d\tau_{0} d\tau_{1} \right \}$$ (136)

Setzen wir die gewonnenen Ergebnisse in die Variation von $I_2$ ein, erhalten wir:

$$\delta I_{2} =-{\frac{1}{4\pi }}\int_{\R^{4} } \partial^{b} F_{ab... ...dag })_{ab} ( \uvec{z} ){\frac{dz^{b} }{d\tau }} \delta z^{a} d\tau \right . -$$ (137)

$$-\left .\int_{S} {\frac{\partial y^{c} }{\partial\tau_{0} }}{\fr... ...m\dag })_{bc,a} + (F{\rm\dag })_{ca,b} \right ] d\tau_{0} d\tau_{1} \right \},$$ (138)

wobei wir im letzten Term lediglich einige Umbenennungen in den Summationsindizes vorgenommen haben.

Die Bewegungs- bzw. Feldgleichungen erhält man nun, indem man die Koeffizienten vor den unabhängig voneinander zu variierenden Variablen null setzt:

Für die Ladungskoordinaten folgt dann

$$m{\frac{d^{2} z^{b} }{d\tau^{2} }} ={\frac{e}{c}} (\partial^{b} A^{a} -\partial^{a} A^{b} ){\frac{d z_{a} }{d\tau }}.$$ (139)

Das stimmt mit der in Abschnitt 1 gefundenen Bewegungsgleichung für Ladungen überein. Das ist aber offenbar nur dann die richtige Bewegungsgleichung, wenn $G_{ab}=0$ ist, d.h. wenn die Ladung nie einen zu einem Pol gehörigen String schneidet. Das ist der oben versprochene Beweis für das Dirac-Veto.

Für die Polkoordinaten folgt

$$m{\frac{d^{2} z_{a} }{d\tau^{2} }} ={\frac{g}{c}} (F{\rm\dag })_{ab} {\frac{d z^{b} }{d\tau }}.$$ (140)

Bzgl. der Stringvariablen erhält man nur eine Bedingung an die Felder, keine Bewegungsgleichung. Das war zu erwarten, weil der String keine Observable sein soll. Die Bedingung an die Felder lautet:

$$(F{\rm\dag })_{ab,c} +(F{\rm\dag })_{bc,a} + (F{\rm\dag })_{ca,b} = 0.$$ (141)

Das läßt sich durch Dualisieren umschreiben zu

$${F^{cd} }_{,c} =0$$ (142)

Diese Gleichung gilt wiederum nur, wenn keine Ladung einen String schneidet.

Damit ist gezeigt, daß es möglich ist, eine Elektrodynamik, in der magnetische Monopole mathematisch konsistent mit Hilfe der Strings zu formulieren.