Der kanonische Formalismus für Teilchen und Pole

Wir verzichten im folgenden auf die im Artikel Diracs gegebene vollständige Quantisierung der Teilchen und Felder. Wir beschränken uns vielmehr auf die Quantisierung der Teilchen und behalten das elektromagnetische Feld als klassisches Feld bei. Das ist möglich, weil wir im vorigen Paragraphen gesehen haben, daß die Feldvariablen und die Teilchenvariablen unabhängige dynamische Observable sind. Das Hauptargument für die Einführung der Monopole, nämlich die Quantelung der elektrischen Ladung, läßt sich bereits von diesem Standpunkt aus gewinnen.

Zunächst soll der Übergang vom Lagrange- zum Hamiltonformalismus für Teilchen angegeben werden, der hier benutzt werden soll. Wir verlassen zunächst den manifest kovarianten Formalismus, wie es für die Hamiltonsche Theorie natürlich ist, da in ihr die Zeit ausgezeichnet wird. Die Wirkung schreibt sich dann als Zeitintegral über die Lagrangefunktion:

$$I(q(t);t)=\int_{t_{0} }^{t} L{dt'}.$$ (143)

Als dynamische Variablen werden zunächst die $x$ und $dx/dt$ zur Zeit $t$ (obere Integrationsgrenze des Integrationsintervalls!) aufgefaßt. Wir bilden die totale Variation der $x$ , die sich aus einer Variation der Bahn $x(t')$ , die unabhängig von der oberen Integrationsvariablen $t$ ist, und einer Variation der oberen Integrationsvariablen $t$ zusammensetzt:

$$\Delta\vec{x} =\delta\vec{x} +{\frac{d\vec{x} }{dt}} \delta t.$$ (144)

Daraus berechnet sich die totale Variation der Wirkung zu

$$\begin{split}\Delta I & = {\frac{\partial I}{\partial\vec{x} ... ...artial{\frac{d\vec{x} }{dt}} }} - L\right ]\delta t \end{split}$$ (145)

Nun werden die kanonisch konjugierten Impulse eingeführt als die Koeffizienten von $\Delta \vec{x}$ und die negative ,,Energie`` $-W$ als Koeffizient von $\delta t$ :

$$\vec{p} ={\frac{\partial L}{\partial{\frac{d\vec{x} }{dt}} }} ={\... ...dt}} - L =\vec{p} {\frac{d\vec{x} }{dt}} -L = -{\frac{\partial I}{\partial t}}.$$ (146)

Nun betrachten wir als einen Satz dynamischer Variabler $\vec x$ , $\vec p$ und $W$ . Das sind bei einem System von $f$ Freiheitsgraden im Konfigurationsraum $2f+1$ Variable. Da bei einem System von gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung nur $f$ erste Integrale existieren, kann der Phasenraum aber nur $2f$ Variable umfassen, d.h. es muß eine Beziehung der Form

$$H(\vec{x} ;\vec{p} ;t)-W=0$$ (147)

geben. H ist die Hamiltonfunktion. Betrachtet man (146) und (147) genauer, sieht man, daß es sich um eine Legendretransformation von $d \vec{x}/dt$ und $L$ zugunsten von $\vec{p}$ und $H$ handelt, daß also der Hamiltonformalismus mit dem Lagrangeformalismus äquivalent ist. Setzt man die Beziehungen aus (146) in (147) ein, erkennt man, daß die Wirkungsfunktion $I$ eine Lösung der Hamilton-Jacobischen partiellen Differentialgleichung (HJDGL)

$$H \left ( \vec{x} ;{\frac{\partial S}{\partial\vec{x} }} ;t \right ) +{\frac{\partial\vec{S} }{\partial t}} = 0$$ (148)

ist. Als partielle Differentialgleichung in den $f$ Variablen $\vec{x}$ hängt jede Lösung $S$ von $f$ willkürlichen Parametern (Integrationskonstanten $\alpha_k$ , $k=1 \ldots f$ ) ab. In diesem Sinne kann $S$ als Erzeugende einer kanonischen Transformation aufgefaßt werden. Führt man die Transformation durch, gelangt man zu einer verschwindenden Hamiltonfunktion in den neuen kanonischen Variablen. Infolgedessen sind diese neuen Variablen allesamt vermöge der Bewegung konstant.

Die Hamiltonschen kanonischen Bewegungsgleichungen leiten sich wie üblich aus der Bildung des totalen Differentials von $H$ ab:

$$dH={\frac{\partial H}{\partial\vec{p} }} d\vec{p} +{\frac{\partia... ...{\frac{d\vec{p} }{dt}}\vec{dx} -{\frac{\partial L}{\partial t}} dt \Rightarrow$$ (149)

$${\frac{d\vec{x} }{dt}} ={\frac{\partial H}{\partial\vec{p} }} ; \... ...{x} }} ; \; {\frac{\partial H}{\partial t}} = -{\frac{\partial L}{\partial t}}.$$ (150)

Die Zeitableitung einer beliebigen Observable $f(\vec{x};\vec{p};t)$ ergibt sich zu

$${\frac{d}{dt}} f(\vec{x} ;\vec{p} ;t)={\frac{\partial f}{\partial... ...partial f}{\partial t}} =\{ f;H\}_{\text{PB}} +{\frac{\partial f}{\partial t}}.$$ (151)

Dabei ist die Poissonklammer (Poisson-Bracket) zwischen zwei Observablen $f$ und $g$ definiert zu

$$\{ f;g\}_{\text{PB}} ={\frac{\partial f}{\partial\vec{x} }}{\frac... ...}} -{\frac{\partial f}{\partial\vec{p} }}{\frac{\partial g}{\partial\vec{x} }}.$$ (152)

Die Bedeutung der Poissonklammern besteht darin, daß sie auf dem Raum der Phasenraumfelder eine Liealgebra bilden. Der Fluß des durch die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen gegebenen Gleichungssystems wird nach Gl. (151) von der Hamiltonfunktion erzeugt. Man kann die Liealgebra als Liealgebra der die kanonischen Transformationen (d.h. lokal symplektischen Transformationen) umfassenden Transformationsgruppe ansehen. Diese Gruppe enthält insbesondere die (stetig differenzierbaren) Symmetrietransformationen des dynamischen Systems. Auf diese Weise hat man die Geometrie des Systems in invarianter Weise charakterisiert. Die Poissonklammern zwischen $\vec{x}$ und $\vec{p}$ lauten, wie eine direkte Anwendung der Definition (152) unmittelbar zeigt:

$$\{ x_{a} ;p_{b} \}_{\text{PB}} =\delta_{ab} ; \; \{ x_{a} ;x_{b} \}_{\text{PB}} = \{ p_{a}; p_{b} \}_{\text{PB}} = 0.$$ (153)

Diese Poissonklammern zeigen, daß $\vec{p} \delta \vec{a}$ die infinitesimale Translation $\vec{x} \rightarrow \vec{x}+\delta \vec{a}$ erzeugt. Dies ist dieselbe Aussage, die auch bereits beim Noethertheorem erörtert wurde.

Die kanonische Quantisierung wird erfolgt nun dadurch, daß man die so formulierten Observablen als Erzeugende der ihnen zugeordneten Transformationsgruppe ansieht und die Darstellungen der zu derselben gehörigen Liealgebra im Hilbertraum der quantenmechanischen Zustände betrachtet. Die reellen Observablen werden dabei durch hermitesche Operatoren repräsentiert. Die mit $i$ multiplizierten Observablen erzeugen dann unitäre Darstellungen der Transformationsgruppe. Die Poissonklammerbeziehungen sind als Strukturrelationen der zur Gruppe gehörigen Liealgebra zu lesen, d.h. in der Hilbertraumdarstellung durch Kommutatorrelationen der Observablen gegeben. Damit ist der kanonische Formalismus dadurch gerechtfertigt, daß die die Geometrie charakterisierenden Transformationsgruppen homomorph in der als Hilbertraumtheorie formulierten Quantentheorie auftreten und das quantenmechanische Verhalten bestimmen. Insbesondere die Zeitentwicklung der Zustände ist durch den Hamiltonoperator gegeben (Propagatortheorie).

Um diese Überlegungen zur kanonischen Quantisierung auf die Teilchen und Pole anwenden zu können, haben wir zunächst in der oben allgemein besprochenen Weise vom Lagrange- zum Hamiltonformalismus überzugehen. Für die Wirkung der freien Teilchen und Pole und den Wechselwirkungsterm der Ladungen mit dem Feld können wir unmittelbar Gl. (145) anwenden, wobei wir das Integral nach der gewöhnlichen Zeit $t$ (die vom gewählten Bezugssystem abhängt) zu parametrisieren haben:

$$\Delta I_{1} = -\Delta \left [\sum_{e+g} mc^{2} \int_{t_{0} }^{t} \sqrt{1-\left... ...{e+b} m{\frac{d\vec{x} }{d\tau }} \Delta\vec{x} -\frac{m c^2}{\sqrt{1-\beta^2}}$$ (154)

$$\beta ={\frac{1}{c}} \left\vert{\frac{d\vec{x} }{d\vec{t} }} \right\vert$$ (155)

Mit dem obigen Verfahren zur Identifikation der kanonischen Impulse und dem Energieintegral finden wir:

$$\vec{p}_{1} =m{\frac{d\vec{x} }{d\tau }} ; \; W_{1} =\frac{m c^{2} }{\sqrt{1-\beta^{2}}}.$$ (156)

Für die Variation des Wechselwirkungspotentials einer Ladung mit dem elektromagnetischen Feld ergibt sich:

$$\Delta I_{3} = \Delta{\frac{e}{c}}\int_{t_{0} }^{t} A^{a} {\frac{... ...phi\delta t \Rightarrow \vec{p}_{3} ={\frac{e}{c}}\vec{A} ; \; W_{3} =e\varphi.$$ (157)

Dabei haben wir uns wieder der allgemeinen Gleichung (145) bedient.

Bei der Berechnung von $\Delta I_2$ muß das Verfahren abgewandelt werden um die relativistische Kovarianz zu sichern (sie tritt nicht mehr als Tensorformalismus auf!). Der vierdimensionale Bereich, über den die Lagrangedichte integriert wird, wird mit einer raumartigen dreidimensionalen Fläche $S_p$ begrenzt. Eine raumartige Fläche ist dadurch definiert, daß sie überall eine zeitartige Normale besitzt. Es werden nun die Stringvariablen variiert. Aus den Lagrangegleichungen, die aus der Variation der über den unbegrenzten Raum erstreckten Integrale folgen, ergibt sich, daß bei der Integration der Variation $\Delta I_2$ alle Terme verschwinden außer denen, die sich bei der Anwendung des Stokesschen Satzes als Randintegral über die Schnittlinie des Blattes mit $S_p$ ergeben. Wir können nun (außer entlang der Weltlinie des Teilchens, wo wir uns mit der Parametrisierung festgelegt haben) die Parametrisierung so wählen, daß die Schnittlinien durch $\tau_1$ parametrisiert sind. Dann erhält man schließlich die besagte Variation zu

$$\Delta I_{2'} =-{\frac{g}{c}}\int_{0}^{\infty} (F{\dag })_{ab}^* \delta y^{a} {\frac{\partial y^{b} }{\partial\tau_{1} }} d\tau_{1}.$$ (158)

Die kanonischen Impulse für die Strings sind also durch Impulsdichten (Dichten bzgl. des Wegintegrals entlang des Strings, der als Schnitt mit der Fläche $S_p$ definiert ist, hier parametrisiert mit $\tau_1$ ) gegeben:

$$\beta_{a} ={\frac{g}{c}} (F \dag )_{ba} {\frac{\partial y^{b} }{\partial\tau_{1} }}.$$ (159)

Die Poissonklammern für solche Variablen sind definiert durch

$$\{y_{a} (\tau_{1} );p_{b} (\tau_{1'} )\} = g_{ab} \delta (\tau_{1} -\tau_{1'} ).$$ (160)