Die Quantisierung

Bevor wir uns mit der Quantisierung der oben entwickelten klassischen Theorie befassen, wollen wir uns kurz über die Grundlagen der relativistischen Quantentheorie klar werden, denn wie nicht anders zu erwarten, ergeben sich bei der Quantisierung der klassisch relativistischen Theorie eine relativistische Quantentheorie.

Wir betrachten zunächst noch einmal die Formulierung der nichtrelativistischen Quantentheorie, wobei wir die konkrete Darstellung der Zustände als $L^2$ Funktionen im Ortsraum (Ortsdarstellung) und der Operatoren als Differential- bzw. Multiplikationsoperatoren verwenden. Wir wiederholen kurz die Interpretation der nichtrelativistischen Quantentheorie:

(1)

Die Wellenfunktion ist eine Wahrscheinlichkeitsamplitude, d.h. die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in einem Volumenelement $dx dy dz$ um den Punkt $(x;y;z)$ zur Zeit $t$ zu finden, ist $\vert\psi(x;y;z;t)\vert^{2} dx dy dz$ .

(2)

Die Zeitentwicklung der Wellenfunktion wird durch den Hamiltonoperator erzeugt:

$${\frac{\hbar}{i}}{\frac{\partial \psi }{\partial t}} =\hat{H}\psi$$ (161)

Die Wellenfunktion muß wegen der Wahrscheinlichkeitsinterpretation notwendig normierbar sein, und zwar in dem Sinne, daß diese Normierung mit der Zeitentwicklung, die durch die Schrödingergleichung gegeben ist, nicht zerstört wird. Das ist in der Tat der Fall. Aus der Hermitezität des Hamiltonoperators folgt nämlich sofort:

$$\begin{split}{\frac{\partial}{\partial t}}\int_{V} \psi^*\psi... ...{\nabla}\psi^*-\psi^* \vec{\nabla}\psi )d^3 \vec{x} \end{split}$$ (162)

Definiert man nun einen Strom zu

$$\vec{j} ={\frac{i \hbar }{2 m}} (\psi \vec{\nabla}\psi^* -\psi^* ... ...psi ) \Rightarrow {\frac{\partial}{\partial t}} (\psi^*\psi ) + \div\vec{j} =0,$$ (163)

haben wir eine Kontinuitätsgleichung gewonnen, die in der üblichen Weise interpretiert werden kann. Insbesondere ist das Raumintegral über die positiv semidefinite Wahrscheinlichkeitsdichte $\psi^* \psi$ mit der Zeit konstant, weil der Beitrag des Stromes nach dem Stokesschen Satz bei der Integration über die im Unendlichen gelegene Oberfläche verschwindet, d.h. die Wahrscheinlichkeitsnormierung ist konsistent mit der Zeitentwicklung. Die Kontinuitätsgleichung läßt sich physikalisch als Erhaltungssatz für die Masse bzw. die Teilchenzahl deuten.

Charakteristisch für die relativistische Quantentheorie ist aber gerade das Versagen der eben gegebenen Wahrscheinlichkeitsinterpretation. Betrachten wir etwa die einfachste relativistische Wellengleichung, die wir unten noch näher herleiten werden, die Klein-Gordon-Gleichung für das freie Teilchen

$$\hat{p}_{i} \hat{p}^{i} \psi = m^{2} c^{2} \psi ; \; \hat{p}_{i} = i\hbar\partial_{i}.$$ (164)

Dabei ist die Form dieser Gleichung durch reine Invarianzüberlegungen zu rechtfertigen. Jede relativistische Wellenfunktion muß nämlich eine relativistisch kovariante Größe sein, d.h. sich nach einer Darstellung der Lorentzgruppe transformieren. Die einfachste Möglichkeit für die Wellenfunktion ist ein Skalar. Soll sie ein freies Teilchen beschreiben, muß die Wellenfunktion invariant gegenüber Translationen von Raum und Zeit sein (Erhaltung des Viererimpulses nach dem Noethertheorem), d.h. bei Durchführung einer solchen Transformation darf sich die Wellenfunktion nur mit einem Phasenfaktor multiplizieren. Das kann aber nur die ebene Welle leisten:

$$\psi =N \exp (-i{\frac{p_{i} x^{i} }{\hbar}} ).$$ (165)

Dabei ist der Impulsoperator ein Differentialoperator bzgl. der Raumzeitkoordinaten, weil er infinitesimaler Erzeugendenoperator von Raum-Zeittranslationen ist (s.o.). Betrachtet man die Klein-Gordongleichung, zeigt sich in der Tat, daß die ebene Welle, die ein Teilchen mit konstantem Impuls und konstanter Energie (eben ein freies Teilchen) beschreibt, zur richtigen Energie-Impulsbeziehung dieses freien Teilchens führt.

Betrachten wir in Analogie zur Stromdichte der nichtrelativistischen Quantenmechanik die Größe

$$J_{a} =i[\psi^*\partial_{a} \psi -\psi \partial_{a} \psi^*],$$ (166)

so ergibt sich für diese Größe aus der Klein-Gordon-Gleichung eine Kontinuitätsgleichung der obigen Form. Die Nullkomponente ist jedoch nicht mit $\vert\psi\vert^2$ identisch, so daß aufgrund der Kontinuitätsgleichung der Stromdichte $\vert\psi\vert^2$ nicht zeitlich konstant und demzufolge nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte für die Lokalisierung eines Teilchens interpretierbar ist. Anders ausgedrückt ist die Erhaltung der Teilchenzahl in einer nichtrelativistischen Theorie nicht mehr gegeben, was damit zusammenhängt, daß in relativistischen Theorien nicht die Ruhemasse für sich sondern die Gesamtenergie des Systems, zu der auch die Ruheenergie zählt, eine Erhaltungsgröße ist. Eine relativistische Theorie ist demzufolge notwendig eine Vielteilchentheorie. Die mit der obigen Stromdichte formulierte Kontinuitätsgleichung muß als Erhaltungssatz einer Ladung (z.B. der elektrischen Ladung) interpretiert werden.

Behandelt man die Vielteilchentheorie, die durch Anwendung des Verfahrens der zweiten Quantisierung des Klein-Gordon-Feldes $\psi$ entsteht, so hat man eine weitere Schwierigkeit zu beheben:

Grundlösung der Gleichung für das freie Teilchen sind ebene Wellen der Form $\exp(ipx/\hbar)$ . Die dem Teilchen zugeordnete Energie $\epsilon$ muß lediglich der Gleichung $\epsilon^{2}=p_{\alpha} p_{\alpha} c^{2}+(mc^{2})^{2}$ genügen. Das folgt zwanglos aus der Klein-Gordon-Gleichung, wenn man nach dem Quadrat des Hamiltonoperators

$$\hat{H}^{2} \psi = -{\frac{\hbar^{2} \partial^{2} }{\partial t^{2} }}\psi = c^{2} (m^{2} c^{2} -\hbar^{2} \Delta )\psi$$ (167)

auflöst. Die Lösungen dieser Gleichung sind aber gegeben durch

$$\psi_{p}^{(+)} =A \exp \left (i{\frac{\vec{p}\vec{x} -\epsilon t}... ...p}^{(-)} = B \exp \left ( i{\frac{\vec{p}\vec{x} +\epsilon t}{\hbar}} \right ).$$ (168)

Die zweite Lösung bereitet in ihrer Interpretation insofern Probleme als ihr ein Teilchen mit negativer Energie entspricht ($\epsilon$ ist als die positive Wurzel der obigen Gleichung vorausgesetzt). Bei der Entwicklung des Operators der Wellenfunktion der zweiten Quantisierung kann man dieses Problem dadurch beheben, daß man den Erzeugungsoperator der Teilchen, die zu solchen Fourierkomponenten mit negativer Energie gehören, als Vernichtungsoperator von anderen Teilchen positiver Energie interpretiert (Feynman-Stückelberg-Formalismus). Diese andere Teilchensorte stellt das Antiteilchen zu den betrachteten Teilchen dar.

Ein weiteres Ergebnis der relativistischen Quantentheorie sei hier nur qualitativ erörtert. Stellt man eine Lagrangetheorie der freien Klein-Gordon-Gleichung auf, so erhält man durch Berechnung des kanonischen Energie-Impulstensors für die Energie des Feldes eine positiv definite Größe, so wie es sein muß. Wendet man diese Definition der Energie beim quantisierten Feld an, so erkennt man, daß nur die zweite Quantisierung mit Kommutatorregeln zu einer positiv definiten Gesamtenergie der Teilchen und Antiteilchen führt. Die Teilchen vom Spin 0 sind also notwendig Bosonen. Eine Quantisierung nach Antikommutatoren führt zu einer nicht positiv definiten Gesamtenergie des Systems und ist somit nicht konsistent mit der physikalischen Interpretation der Vielteilchentheorie. Dies ist Ausdruck des Spin-Statistik-Theorems, das von Pauli 1940 erstmals bewiesen wurde. Demnach müssen Teilchen mit ganzzahligen Spins Bosonen, mit halbzahligen Spins Fermionen sein. Dieser Sachverhalt war lange vor dem Beweis des Theorems empirisch bekannt und muß in der nichtrelativistischen Quantentheorie als zusätzliche Annahme eingeführt werden, denn die zweite Quantisierung des Schrödingerfeldes kann sowohl mit Kommutator- als auch mit Antikommutatorregeln konsistent durchgeführt werden.

Nach diesem Ausflug in die relativistische Quantenmechanik kehren wir zu unserer Betrachtung der Teilchen und Pole zurück, wobei wir das elektromagnetische Feld, wie bereits oben erwähnt, nicht quantisieren, also als klassisches Feld in der Theorie weiterverwenden wollen. Dies ist der Standpunkt, den wir auch bisher in der nichtrelativistischen Quantentheorie benutzt haben. Wie oben bereits angedeutet, ergibt sich als Operator für $p^a$ in der Ortsdarstellung des Hilbertraums:

$$\hat{p}^{a} ={\frac{\hbar}{i}} \partial^{a} ={\frac{\hbar}{i}}{\frac{\partial}{\partial x_{a} }},$$ (169)

weil die Viererimpulse Translationen in Raum und Zeit erzeugen. Es ist leicht nachzurechnen, daß diese Operatoren die kanonischen Vertauschungsrelationen, die wir als die Poissonklammern (153) der klassischen Theorie formuliert haben, erfüllen. Für die Ladungen folgt, wenn wir hier die Teilchen als skalare Bosonen betrachten (also skalare Wellenfunktionen benutzen):

$$(\hat{p}^{a} -{\frac{e}{c}} A^{a} ) (\hat{p}_{a} -{\frac{e}{c}} A... ...}{i}} \partial_{a} {\frac{e}{c}} A^{a} \right ) - m^{2} c^{2} \right ]\psi = 0.$$ (170)

Man erhält also die bereits oben betrachtete Klein-Gordon-Gleichung, allerdings unter Berücksichtigung der Wirkung des klassischen Maxwellfeldes. Die Feldgleichung für die Pole sieht auf den ersten Blick wie für die des freien Teilchens aus:

$$\left [\left ({\frac{\hbar}{i}} \partial^{a} \right )\left ({\fra... ...-m^{2} c^{2} \right ]\psi =0 \Rightarrow (\hbar^{2} \Box +m^{2} c^{2} )\psi =0.$$ (171)

Dazu kommt aber noch die Gleichung für die Strings. Die Stringvariablen sind als kontinuierliche Zahl von Parametern (parametrisiert durch $\tau_1$ ) anzusehen. Das haben wir schon beim oben bei der Herleitung Hamiltonformalismus' gesehen, wo sich die $\beta_i$ als Impulsdichten ergaben. Man hat die Wirkung dieser Dichten also durch die sog. Funktionalableitung zu definieren. Ist also $f$ die Dichte einer Größe $F$ , so definiert man als Funktionalableitung von F

$${\frac{\delta F}{\delta y_{a} }} ={\frac{\partial f}{\partial y_{a} }}.$$ (172)

Die Dichte der Wellenfunktion ist

$$\Psi \delta (\tau_{1} -\tau_{1'} ).$$ (173)

Man erhält damit als Gleichung für die Strings

$${\frac{\hbar}{i}}{\frac{\delta\psi }{\delta y_{a} }} = \frac{g}{c} (F{\rm\dag })_{ba} {\frac{\partial y^{a} }{\partial\tau_{1} }}\psi,$$ (174)

wie man unmittelbar der Definition (159) für die Impulsdichten der Strings entnimmt.

Wir kommen nun zu der wesentlichen Folgerung aus der Annahme der Existenz der Pole. Dazu deformieren wir den String in der oben definierten raumartigen Fläche. Aus der klassischen Elektrodynamik ist klar, daß eine Deformation des Strings nur eine Eichtransformation der Felder bewirken kann. Wir deformieren den String in der beim Übergang zum Hamiltonformalismus eingeführten dreidimensionalen raumartigen Fläche, so daß er am Ende des Deformationsprozesses wieder auf den alten String zu liegen kommt. Der vorigen Gleichung entnimmt man unmittelbar, daß dann

$${\frac{\hbar}{i}}{\frac{\partial}{\partial y_{b}}} \psi \vert _{\... ... } \right ) = -{\frac{gi}{2 \hbar c}} \int_{\sigma} (F \dag )_{ba} d\sigma^{ba}$$ (175)

sein muß. Dabei ist $\sigma$ die von der Stringdeformation umschlossene Fläche und $d \sigma^{ab}$ ihr antisymmetrisches Flächenelement. Wählt man die raumartige Fläche senkrecht zur Zeitachse, erkennt man, daß es sich bei dem Integral um das Flußintegral des elektrischen Feldes handelt, also $4 \pi e$ ergibt, falls die Fläche eine Ladung $e$ enthält. In diesem Falle ändert sich $\psi$ also um einen Phasenfaktor:

$${\psi'} =\psi \exp \left ({\frac{4\pi i eg}{\hbar c}} \right ).$$ (176)

Damit $\psi$ eindeutig ist, muß also gelten

$$eg={\frac{n}{2}} \hbar c n \in \Z,$$ (177)

d.h. aus der Existenz eines Pols folgt die Quantelung der elektrischen Ladung. Das ist deshalb so bemerkenswert, weil man außer der Diracschen Hypothese der Existenz magnetischer Monopole (einer im Universum würde auch schon reichen!) keine andere theoretische Erklärung für dieses Phänomen gefunden hat.