Eichtheoretischer Zugang zur Quantisierung der Ladung

Im folgenden soll die Quantisierung der Ladung bei Existenz magnetischer Monopole unter Vermeidung des bisher benutzten Konzepts des Strings hergeleitet werden.

Dazu betrachten wir einen im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems (wir verwenden im folgenden den Dreierformalismus) ruhenden magnetischen Monopol mit der magnetischen Ladung $g$ . Wie wir bereits in §2 im Anschluß an die diese Situation beschreibende Gleichung (100) bemerkt haben, gilt wegen des Gaußschen Satzes (wie bei der analogen Situation beim elektrischen Feld) für jedes Volumen $V$ , das den Monopol enthält:

$$\int_{\partial V} \vec{B} d \vec{S} = 4\pi g.$$ (178)

Ein solches Feld kann nicht von einem in ganz $\R^3$ definierten, singularitätenfreien Vektorpotential als Rotation dargestellt werden, denn für ein solches Vektorpotential müßte gelten:

$$\int_{\partial V} \vec{B} d\vec{S} =\int_{\partial V} {\rm rot} \vec{A} d\vec{S} =\int_{V} {\rm\div } {\rm rot} \vec{A} d^{3} \vec{x} = 0$$ (179)

im Widerspruch zu (178).

Um dieses Problem zu umgehen (und die Einführung von singulären Linien (Strings) zu vermeiden), nutzen wir die Eichfreiheit des Vektorpotentials aus und definieren in zwei überlappenden Gebieten $G_1$ und $G_2$ , die gemeinsam den $\R^3$ überdecken, Vektorpotentiale $\vec{A}_1$ und $\vec{A}_2$ , die sich gemäß

$$\vec{A}_{1} =\vec{A}_{2} -{\rm\vec{\nabla}} \chi$$ (180)

um den Gradienten eines Eichfeldes $\chi$ unterscheiden. Wir verlangen weiter, daß die Potentiale in ihrem Gebiet singularitätenfrei sind. Aus diesen Forderungen können wir nun $\vec{A}_1$ und $\vec{A}_2$ bestimmen.

Entsprechend dem elektrostatischen Fall folgt aus Gl. (100), daß das vom Monopol erzeugte Magnetfeld die Form

$$\vec{B} ={\frac{g}{r^2}} \hat{r} \hat{r} = \frac{\vec{r}}{r}$$ (181)

besitzt. Die Rotation schreibt sich in Kugelkoordinaten $\{r; \vartheta; \varphi \}$

$$\begin{split}\frac{g}{r^2} &= \frac{1}{r \sin \vartheta} \lef... ... - \frac{\partial A_r}{\partial \vartheta} \right]. \end{split}$$ (182)

Wir können nun wegen der Eichfreiheit des Potentials $\vec{B} \perp \vec{A}$ verlangen, also $A_r=0$ setzen. Damit folgt aus den beiden letzten Gleichungen, daß $A_{\varphi}, A_{\vartheta} \propto 1/r$ oder 0 sind. Wir versuchen nun den Ansatz $A_{\vartheta}=0$ . Wir werden sehen, daß dieser Ansatz eine einfache Kartierung des $\R^3$ , d.h. die Wahl der Gebiete $G_1$ und $G_2$ , erlaubt. Aus der ersten Gleichung von (182) ergibt sich mit diesem Ansatz die Bestimmungsgleichung für $A_{\varphi}$ :

$${\frac{g}{r}} \sin \vartheta ={\frac{\partial}{\partial \vartheta }} (A_{\varphi} \sin \vartheta ).$$ (183)

Als Lösung ergibt sich das Vektorpotential

$$\vec{A} = g\left [{\frac{k-\cos \vartheta }{r \sin \vartheta }} \right ]\hat{\varphi}$$ (184)

mit einer Integrationskonstanten $k$ , deren Wahl einer speziellen Eichung entspricht. Die Wahl von $k = \pm 1$ erlaubt es uns, je ein Vektorpotential zu erhalten, das für $\vartheta=0$ bzw. $\vartheta = \pi$ singulär ist. Entsprechend wählen wir die Gebiete $G_1$ und $G_2$ so, daß $G_1: \; 0 \leq \vartheta < \pi/2 + \delta$ und $G_2: \; \pi/2-\delta < \vartheta \leq \pi$ sowie die dazugehörigen Vektorpotentiale wie folgt:

$$\vec{A}_{1} =g\left [{\frac{1-\cos \vartheta }{r\sin \vartheta }}... ...2} =-g\left [{\frac{1+\cos \vartheta }{r\sin \vartheta }} \right ]\hat{\varphi}$$ (185)

Diese Gebiete besitzen die in Abb. 4 gezeigte Gestalt.

Abbildung: Zur Wahl der Karten $G_1$ und $G_2$ zur Überdeckung des $\R^3$ und der entsprechenden zu einem im Ursprung des Koordinatensystems ruhenden magnetischen Monopol gehörigen Vektorpotentiale $\vec{A}_1$ und $\vec{A}_2$ .

Das Eichfeld, das die beiden Vektorpotentiale im Überlappungsbereich der beiden Regionen verbindet, ist damit zu wählen als:

$${\rm\vec{\nabla}} \chi ={\frac{-2g}{r\sin \vartheta }}\hat{\varphi} \Rightarrow \chi =-2 g\varphi.$$ (186)

Um nun zu unserem Ziel, der Quantisierung der elektrischen Ladung, zu gelangen, betrachten wir das Verhalten der quantenmechanischen Größen unter Eichtransformationen.

Der Hamiltonoperator für ein Teilchen der Ladung $e$ im Feld des Monopols lautet:

$$\hat{H} ={\frac{1}{2m}} (\vec{p} -{\frac{e}{c}}\vec{A} )^{2}.$$ (187)

Eine Eichtransformation $\vec{A} \rightarrow \vec{A} + \vec{\nabla}\chi$ darf die Physik nicht ändern, d.h. zwischen den Zuständen $\ket{\psi}$ des nichttransformierten und $\ket{\psi'}$ des transformierten Systems muß es eine unitäre Transformation $\hat{\epsilon}$ geben mit

$$\vert{\psi'} \rangle =\hat{\epsilon} \vert\psi \rangle.$$ (188)

Demgemäß transformiert sich der Hamiltonoperator unitär:

$$\hat{\epsilon}^\dagger \hat{H'} \hat{\epsilon} ={\frac{1}{2m}} \h... ...t{\epsilon}]^{2} = \frac{1}{2m} ( \vec{p} -{\frac{e}{c}}\vec{A} )^{2} =\hat{H}.$$ (189)

Setzen wir nun $\epsilon=\exp[if(x)]$ , so folgt:

$$\hat{\epsilon}^{\dagger} (p -{\frac{e}{c}}\vec{A} -{\frac{e}{c}} ... ...rel{!}{=} \vec{p} -{\frac{e}{c}}\vec{A} \Rightarrow f=-{\frac{e}{\hbar c}}\chi.$$ (190)

Dabei wurde die Vertauschungsregel für Operatorfunktion von $\vec{x}$ mit dem Impulsoperator $\vec{p}$ verwandt. Die unitäre Transformation ist also durch die folgende (lokale) Phasentransformation gegeben:

$$\hat{\epsilon} =\exp \left [ -{\frac{i e}{\hbar c}}\chi (\vec{x} )\right ].$$ (191)

Im Überlappungsbereich der beiden Karten des $\R^3$ transformieren sich also die Zustandskets unter Anwendung von (186) gemäß (191):

$$\hat{\epsilon} =\exp \left [ -{\frac{ie}{\hbar c}} \varphi (\vec{x} ) \right ]; \; \vert\psi_{2} \rangle =\hat{\epsilon} \vert\psi_{1} \rangle.$$ (192)

Durchläuft man nun im Überlappungsbereich eine geschlossene Kurve um die $z$ -Achse (z.B. einen Kreis in der Ebene $\vartheta = \pi/2$ ) $n$ -mal ($n \in \N$ ), so ändert sich $\varphi$ um $2 \pi n$ . Wegen der Eindeutigkeit des Zustandskets im Überlappungsbereich muß aber für diesen Fall $\hat{\epsilon}=1$ werden, d.h. die Phase muß ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi$ sein:

$$\exp \left [ \frac{2 i g e }{\hbar c} 2\pi n \right] = 1 \Rightarrow \frac{2eg}{\hbar c} \in \Z$$ (193)

Damit haben wir wieder die bereits in Abschnitt 4 hergeleitete Quantisierung der elektrischen Ladung $e$ bei gegebener Monopolstärke $g$ gefunden.

Es soll hier nur bemerkt werden, daß das Konzept der Eichfelder ein wichtiges Werkzeug in der Quantenfeldtheorie und der Theorie der Elementarteilchen darstellt. Dabei werden allgemeine kompakte i.a. nichtkommutative Eichgruppen und deren Algebren betrachtet. Die Elektrodynamik stellt in diesem Sinne die spezielle Eichfeldtheorie dar, die aus der Verwendung der U[1] (die isomorph zur mit der Menge aller komplexen Zahlen vom Betrag 1 und der Multiplikation gebildeten Kreisgruppe ist) als (abelsche=kommutative) Eichgruppe resultiert. Die entsprechende quantisierte Theorie führt zur Quantenelektrodynamik. Kompliziertere Gruppen führen zu anderen wichtigen Theorien, z.B. die Gruppe U[1] $\times$ SU[2] zum Standardmodell der elektroschwachen Wechselwirkung und die SU[3] zur Quantenchromodynamik.