... Hees¹

e-mail: hees@fias.uni-frankfurt.de

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... vermöge^1.1

Hier und im folgenden wird über gleichlautende Indizes von $1$ bis $n$ summiert (Einsteinsche Summationskonventaion).

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... festgelegte^1.2

Hierbei haben wir uns der Einsteinschen Summationskonvention bedient, nach der über gleichnamige Indizes zu summieren ist.

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... einführen^1.3

Hierbei steht das hochgestellte $t$ für ,,transponiert``, d.h. statt eines ,,Zeilenvektors`` ist ein Spaltenvektor zu lesen.

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... Fallhöhen^1.4

Das bedeutet in diesem Fall, daß die Fallhöhe klein gegen den Erdradius sein muß.

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... Lagrangeparameter^2.1

Die hier i.a. Funktionen von $q$ und $t$ sind!

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... fest.^2.2

Dies hat für die Quantentheorie eine interessante Bedeutung dahingehend, daß die Darstellung der Galileigruppe in der Quantenmechanik nicht eindeutig ist, und die üblicherweise verwendete Darstellung postuliert oder als Grenzbeziehung für kleine Geschwindigkeiten (formal $c \rightarrow \infty$ ) aus der Lorentzinvarianz der speziellen Relativitätstheorie hergeleitet werden muß.

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... Einparameterliegruppe^2.3

darunter verstehen wir eine Liegruppe, deren Transformationen nur durch einen Parameter bestimmt sind, z.B. die Drehung um eine feste Achse

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... ist^2.4

Wir bemerken, daß wir hier die Annahme machen, daß der kanonische Impuls $\bvec{p}$ mit dem mechanischen Impuls $m \bvec{v}$ eines jeden Teilchens identisch sei. Wie wir später noch sehen werden, ist dies nicht notwendig der Fall, z.B. bei der Bewegung von Teilchen in Magnetfeldern.

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...Brachistochronenproblem^3.1

griech: brachistos=kürzest, chronos=Zeit, d.h. die Brachistochrone ist diejenige Kurve, auf die man einen Massenpunkt zu zwingen hat, so daß er aus der Ruhe losgelassen im homogenen Schwerefeld am schnellsten von einem gegebenen Punkt zu einem anderen tiefer gelegenen Punkt gelangt

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...Tautochrone^3.2

griech: tauto: das Gleiche, chronos: Zeit

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... aus^4.1

Weiter unten werden wir sehen, daß dieser Fall der Raumspiegelung nicht stetig aus der Gruppenidentität deformierbar ist, also keine Symmetrie der Raumzeit darstellen muß. In der Tat sind bekanntlich die Naturgesetze nicht invariant unter Raumspiegelungen, denn die schwache Wechselwirkung verletzt die Erhaltung der Parität, welche aus der Raumspiegelungsinvarianz notwendig folgen würde.

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...^4.2

Genauer gesagt möge sich wie bisher auch, $K'$ gegenüber $K$ mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ bewegen.

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... umkehren^4.3

Der einfache Beweis sei dem Leser zur Übung überlassen.

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... sind^4.4

Man beachte, daß hier und im folgenden $\dot{A}$ die Ableitung nach der Eigenzeit (oder einem anderen skalaren Zeitparameter) und nicht nach der Koordinatenzeit verstanden wird.

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... Zeit^4.5

Unter ,,Zeit`` verstehen wir hier und im folgenden stets die Zeitkomponente $x^0$ des Raumzeitvektors bzgl. eines Inertialsystems.

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... genannt^4.6

Wir werden sehen, daß die erste Gleichung in dem Fall, daß $V_{\nu}(x)=\partial_{\nu} \Phi(x)$ die Wechselwirkung des Punktteilchens mit einem Skalarfeld $\Phi$ und die zweite die mit einem elektromagnetischen Feld beschreibt, falls es ein Vektorfeld $A_{\mu}$ gibt, so daß $F_{\mu \nu}=\partial_{\mu} A_{\nu}-\partial_{\nu} A_{\nu}$ ist.

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... wird^4.7

In der hier durchgeführten Näherung sind nur die Beiträge erster Ordnung in $\bvec{v}$ mitzunehmen. Daher ist es auch unerheblich, ob in (4.3.12) auf der rechten Seite $\bvec{K}$ oder $\bvec{F}$ geschrieben wird, denn $\gamma=(1-\bvec{v}^2/c^2)^{-1/2} = 1+\bvec{v}^2/(2c^2)+\ldots$ .

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...^4.8

I.a. transformieren sich die fettgedruckten dreidimensionalen Vektoren also nur unter Drehungen wie Dreiervektoren. Untersuchungen zu den Transformationseigenschaften solcher Größen unter Lorentztransformationen sind zuweilen schwierig, und es ist stets von Vorteil, zur manifest kovarianten Form zurückzukehren. Für die physikalische Interpretation, die wir hier gewinnen wollen, ist jedoch oft der Rückgriff auf die Dreierdarstellung in einem Inertialsystem vorteilhaft.

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... möge^4.9

Dies ist eigentlich etwas zu streng, denn es wäre für die Poincaré-Invarianz bereits hinreichend, wenn nur die Variation der Wirkung invariant wäre. Wir werden bei unseren Untersuchungen jedoch mit der etwas strengeren Variante auskommen.

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... gilt^4.10

gemäß einem Satz, der als Eulers Theorem über homogene Funktionen bekannt ist.

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... beschreibt^4.11

Wir werden weiter unten sehen, daß (4.3.43) die Wechselwirkung eines mit der elektrischen Ladung $q$ geladenen Punktteilchens mit dem elektromagnetischen Feld beschreibt, wobei $A$ die vierdimensionale Zusammenfassung des Skalar- und Dreiervektorpotentials für das elektrische und magnetische Feld ist.

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... Tensorkomponenten^4.12

In diesem Zusammenhang verstehen wir darunter allgemein Tensoren $n$ -ter Stufe, wobei die Skalar- ($k=0$ ) und Vektorfelder ($k=1$ ) als Spezialfälle anzusehen sind.

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... sind^5.1

Die Quantentheorie lehrt uns, daß Teilchen sogar strikt ununterscheidbar sind, wenn sie sich nicht durch irgendwelche intrinsischen Merkmale wie Masse oder Ladung unterscheiden.

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... Stoßterm^5.2

Der Faktor $1/N$ wird sogleich noch klar werden.

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... H-Theorem^5.3

Der Name H-Theorem geht auf Boltzmanns Benennung der Entropie durch den griechischen Buchstaben Eta zurück.

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