Direkte Lösung im aperiodischen Grenzfall

Alternativ zu der im vorigen Abschnitt vorgestellten Methode, den aperiodischen Grenzfall des gedämpften Oszillators als Grenzwert für den überdämpften Fall zu behandeln, können wir auch die Differentialgleichung direkt lösen. Setzen wir also in (1.3.2) $\omega _0=\gamma$ , erhalten wir

$$\ddot{x}+2 \gamma \dot{x}+\gamma^2 x=0.$$ (1.3.32)

Der Exponentialansatz (1.3.3) liefert nur die eine Lösung für $\lambda=-\gamma$ . Um die vollständige Lösung, also eine zweite linear unabhängige Lösung zu finden, machen wir stattdessen den Ansatz (,,Variation der Konstanten``)

$$x(t)=f(t) \exp(-\gamma t).$$ (1.3.33)

Die Ableitungen sind wegen der Produktregel

$$\dot{x}=(\dot{f}-\gamma f) \exp(-\gamma t), \quad \ddot{x}=(\ddot{f}-2 \gamma \dot{f}+\gamma^2 f) \exp(-\gamma t).$$ (1.3.34)

Setzen wir also unseren Ansatz in (1.3.32) ein, erhalten wir

$$\exp(-\gamma t) [\ddot{f}-2\gamma \dot{f}+\gamma^2 f + 2 \gamma (\dot{f}-\gamma f)+\gamma^2 f]=\exp(-\gamma t) \ddot{f} \stackrel{!}{=}0.$$ (1.3.35)

Das bedeutet, daß $f$ die Differentialgleichung

$$\ddot{f}=0$$ (1.3.36)

erfüllen muß. Ihre allgemeine Lösung finden wir durch zweimaliges Integrieren nach der Zeit. Es ergibt sich

$$f(t)=C_1+C_2 t,$$ (1.3.37)

und demnach lautet die allgemeine Lösung für die Differentialgleichung (1.3.32)

$$x(t)= (C_1+C_2 t) \exp(-\gamma t).$$ (1.3.38)

Anpassung der Integrationskonstanten $C_1$ und $C_2$ an die Anfangsbedingungen (1.2.3) liefert wieder die bereits oben gefundene Lösung (1.3.31).