Der aperiodische Grenzfall

Schließlich gibt es noch den Fall $\alpha=\omega_0$ , daß (1.2.19) nur eine Lösung für $\lambda$ liefert. Dann haben wir mit unserem Exponentialansatz (1.2.3) nur eine Lösung der Bewegungsgleichung und können nicht durch Linearkombination mit einer zweiten davon linear unabhängigen Funktion die allgemeine Lösung der Differentialgleichung aufstellen.

Am einfachsten gelingt eine direkte Lösung für das Anfangswertproblem, indem man von der Lösung (1.2.20-1.2.22) für den überdämpften Fall ausgeht und den Grenzwert $\kappa \rightarrow 0$ vollzieht, der ja gerade dem Fall $\omega_0 \rightarrow \alpha$ entspricht. Die Lösung ist dann ein Grenzwert von der Form $0/0$ , und wir können die de L'Hospital-Regel anwenden. Die einfache Rechnung liefert

$$x(t)=[x_0+\alpha(x_0+v_0) t] \exp(-\alpha t).$$ (1.2.26)

Durch Einsetzen ist es leicht, sich davon zu überzeugen, daß dies eine Lösung der Bewegungsgleichung für $\omega_0=\alpha$ ist und die Anfangsbedingungen erfüllt. Diese Lösung besitzt keinerlei Schwingungscharakter und wird daher als aperiodischer Grenzfall bezeichnet.